Как может шарик на круговой дорожке вернуться в исходную точку, используя только собственный импульс?

Это довольно просто. Дело в том, что вы полностью упускаете из виду тот факт, что шарик взаимодействует с дорожкой и с тем, что поддерживает дорожку, и, в конечном счете, с Землей. Объединенный импульс шарика, дорожки и Земли сохраняется повсюду. Если вы повторите эксперимент с шариком на легкой дорожке, находящейся на поверхности с очень низким трением, вы обнаружите, что и шарик, и дорожка будут двигаться, при этом дорожка постоянно отскакивает от точки мгновенного контакта с шариком, поэтому чтобы суммарный импульс сохранялся.

Импульс частицы, бегущей по треку, заведомо не сохраняется. Импульс сохраняется только тогда, когда к системе не приложены внешние силы, а трек здесь прикладывает силы к шарику.

Что сохраняется для пути без трения, так это механическая энергия - сумма кинетической и гравитационной потенциальной энергии.

Но хотя вы можете вращать корабль и/или изменять его траекторию в одну сторону, вы все равно удаляетесь от Земли с той же постоянной скоростью. Только используя свои ракеты, чтобы напрямую нейтрализовать импульс от Земли (что требует ровно столько же энергии, сколько потребовалось для создания импульса), а затем добавив больше энергии, чтобы подтолкнуть корабль обратно к Земле, вы сможете вернуться домой.

Это неправильно. Вы можете постоянно направлять тягу в сторону и поворачиваться таким образом, как работает гусеница. Применение тяги перпендикулярно вашей скорости даст вам круговую траекторию, и в конечном итоге вы снова окажетесь лицом к земле. Импульс космического корабля не сохраняется, но сохраняется общий импульс космического корабля и его израсходованного топлива.

Предположения

Я считаю, что статического трения достаточно, чтобы движение мрамора не вызывало колебания пандуса на полу.

Попробуем представить ситуацию, прикрепив к шарику импульсную стрелку по мере его движения. Попробуем вывести факты об этой стреле по мере движения шарика.

Скорость изменения величины вектора импульса во времени определяется как:

Но,$\frac{ d \vec{p} }{dt} = \vec{F}$, какие силы действуют на шарик? Мы знаем, что нормаль и гравитация, шарик находится в равновесии относительно направления, нормального к поверхности, которую он вращает, и, следовательно, единственной эффективной силой является тангенциальная сила, вызванная гравитацией, пусть она будет задана как$\vec{F_{g,T} }$, затем:

Ясно, что длина стрелы импульса, связанной с этой частицей, изменяется со временем как величина, указанная в приведенном выше выражении. И, следовательно, импульс не сохраняется ни по длине, ни по направлению.

Поскольку блок не колеблется из-за статического трения (как предполагается), вес системы мраморных блоков давит на землю. Если бы мы включили Землю в систему, то импульс сохранялся бы, как и следовало ожидать.

Этот вопрос предполагает, что импульс мяча сохраняется, и, следовательно, любой толчок приведет к тому, что мяч вернется в исходную точку. Это не так, поскольку импульс мяча сохраняется только тогда, когда на него не действуют внешние силы.

Вернется ли мяч в исходную точку, зависит, в первую очередь, от того, с какой силой мяч толкается в первую очередь. Слишком маленькая сила, и мяч может остановиться на полпути.

Ваша интуиция о том, что космический корабль не может вернуться на Землю, используя только тангенциальные силы тяги, верна. В точках своего пути ему нужно будет запускать двигатели в противоположных направлениях, чтобы вернуть его обратно на землю.

То, как корабли возвращаются на землю в реальных миссиях, осуществляется с помощью силы гравитации массивного объекта, например, Луны, которая будет «выстреливать» или ускорять корабль обратно по траектории к Земле.

Именно так командные модули возвращались на Землю в миссиях «Аполлон» на Луну .

Я просто напишу свои мысли, так как не могу сказать, что я полностью прав.

В первом случае, как только шарик сталкивается с искривленной поверхностью, вектор импульса шарика, нормальный к поверхности, становится равным нулю из-за нормальной силы и упругости шарика, шарик отскакивает с тем же импульсом от поверхности. параллельно нормальному вектору, который мрамор имел раньше. Здесь я рассматривал тангенциальную часть импульса мрамора как инвариант. Теперь он продолжается в каждой точке изогнутой поверхности, когда мрамор движется по окружности.

Но вы должны думать, что после первого столкновения чистый вектор импульса мяча изменился, и да, он изменился, но общий импульс все еще сохраняется, потому что в точке контакта мяч передает импульс треку в наружном направлении, и если трек сам помещенный в гладкую поверхность, он будет двигаться в наружном направлении. Этот эффект также будет продолжаться по всей окружности, в результате чего чистый импульс дорожки станет равным нулю, а шарик будет иметь тот же начальный вектор импульса без нарушения закона сохранения импульса.

Также я не могу понять, что вы говорите в случае 2, но вы можете принять во внимание гравитационную потенциальную энергию вместе с начальной кинетической энергией и посмотреть, сработает ли это.

Было бы полезно думать о x-компоненте и y-компоненте импульса как о сохраняющихся по отдельности величинах, а x-компоненту и y-компоненту силы как о скорости их изменения.

Рассмотрим приведенную ниже диаграмму, начните снизу и просто посмотрите на горизонтальную составляющую импульса и силы. В начале момент полностью направлен в положительном направлении x, x-компонента силы отсутствует, поскольку дорожка толкает ее вверх к центру. По мере того, как мяч движется по первой четверти дорожки, появляется сила x (красные стрелки), направленная назад против движения. Это замедляет движение мяча, останавливая его (только x-компонента) в самой правой точке. Контакт мяча с дорожкой прикладывает к дорожке силу равной величины в противоположном направлении, изменяя его импульс в противоположную сторону, поэтому общий импульс сохраняется. В самой правой точке по-прежнему действует обратная сила x, поэтому мяч теперь ускоряется назад.(только x-компонента), проходящий вокруг второго квартала. Мяч теперь движется в отрицательном направлении x, изменение импульса произошло исключительно за счет силы, приложенной дорожкой. Теперь, когда мяч входит в третью четверть, снова возникает сила x, теперь уже в положительном направлении x, противоположном его движению, замедляя его. В конце концов, оно останавливается (движение по x-компоненте) в крайней левой точке, а затем ускоряется вправо обратно к началу.

Если вы думаете о компонентах x и y отдельно, вы можете увидеть, что каждый компонент импульса нейтрализуется и реверсируется соответствующим компонентом силы с траектории, противодействующей его движению. Я думаю, что проблема возникает из-за того, что мы рассматриваем вектор импульса как величину и направление, видя, что величина остается постоянной, и думаю, что каким-то образом это означает, что импульс в некотором роде является «одним и тем же куском импульса»; что это просто изменение направления, подобно тому, как мяч, двигающийся по кругу, всегда является одним и тем же куском материи и просто меняет направление. Это не работает — постоянная боковая сила включает в себя поток импульса, но не изменение его величины.

Интересно рассмотреть вращение твердого тела. Внутренние силы, удерживающие его вместе, составляют постоянно повторяющийся поток импульса внутри тела. Опять же, существует интуитивная тенденция думать, что, поскольку он жесткий, его части «фиксированы» и не двигаются относительно друг друга. Странно отмечать, что места на другой стороне планеты постоянно движутся по отношению к нам со скоростью до двух тысяч миль в час. Опять же, рассматривая только одну составляющую нашей скорости, мы можем видеть, что нисходящая сила гравитации ускоряет каждого из нас до двух тысяч миль в час, а затем снова до нуля каждый день, каждый день. А через полгода, когда мы будем на другой стороне солнца, мы будем путешествовать со скоростью шестьдесят километров в секунду.относительно нашей текущей системы отсчета, ускоренной до этой скорости соответствующим компонентом солнечной гравитации, которая затем идет в обратном направлении и замедляет нас в течение остальной части года. Каждая отдельная составляющая импульса циклически движется вперед и назад между нами и Солнцем. Только комбинация импульсов x и y, составляющих векторную величину , остается постоянной.

Вы, кажется, путаете импульс и энергию .

Оба законсервированы. Но импульс — векторная величина, а энергия — нет.

Вы можете изменить их, только взаимодействуя с чем-то другим.

Космический корабль традиционно меняет свой импульс , запуская ракеты (разделяя себя на полезную нагрузку и топливо) или взаимодействуя с другими объектами (свет от солнца или гравитация от тяжелого тела).

Космический корабль на орбите вокруг другого тела, выбрасывающего импульс тяги, фактически вернется в исходное положение, если только он не создаст достаточно тяги, чтобы покинуть гравитационный колодец объекта, вокруг которого он вращается. В более сложной ситуации может и не быть (поскольку взаимодействует с большим количеством тел).

Мрамор вращается с помощью другого механизма. Он взаимодействует с дорожкой, которая, в свою очередь, привязана к планете, масса которой намного больше массы мрамора. Если дорожка жесткая, а мрамор гладкий, а углы закруглены, то шарик изменит направление без изменения скорости. Между шариком и планетой будет обмен импульсом (планета, будучи очень большой, изменится на степень, которую никто не может обнаружить), и шарик изменит направление.

При допущении жесткого соединения и нулевого трения мрамор будет терять очень мало энергии или вообще не терять ее.

Космический корабль с колесами без трения, движущийся по рампе, которая была намного массивнее космического корабля, также мог бы развернуться на 180 градусов, не теряя при этом много энергии.

Возможно, вы слышали о терминах «упругое столкновение» и «неупругое столкновение». Упругое столкновение — это столкновение, при котором практически не теряется энергия при деформации сталкивающихся тел или звука удара.

Вы можете смоделировать мраморную дорожку как упругое столкновение.

Когда вы вычислите результат упругого столкновения между маленьким объектом и тяжелым объектом, вы обнаружите, что импульс и энергия почти не передаются от маленького объекта к тяжелому.

Если решить уравнения упругого столкновения ($m$масса,$u$начальная скорость,$v$- конечная скорость), с$m_2 \gg m_1$и$u_2 = 0$(массивный объект начинает неподвижно),

большой объект заметно не сдвигается с места, а маленький объект отражает.

Энергия сохраняется, импульс маленького объекта меняется на противоположный, и большой объект в конечном итоге движется со смехотворно медленной скоростью.

Поскольку энергия объекта пропорциональна квадрату скорости , эта смехотворно низкая скорость приводит к смехотворно маленькому изменению кинетической энергии, оставляя почти всю ее для поддержания скорости легким объектом.

В случае дорожки, прочно связанной с Землей, 6-граммовый шарик$10^27$раз легче планеты. Это означает, что в «идеальной» ситуации всего 1 часть в$10^27$часть его импульса передается планете.

На практике передача импульса от мяча к планете не будет идеальной, но вы можете подойти достаточно близко к тому, чтобы трение качения и сопротивление ветра преобладали над этой проблемой.