Как мы придумываем формулу помощи гравитации (или рогатки)?

Вы получаете эту формулу, просто используя теорему Пифагора, также известную как сложение векторов. Ссылка уже дает$v_{2x}=v_1\cos\theta+2u$а также$v_{2y}=v_1\sin\theta$. Затем вы просто вычисляете величину$v_2=\sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2}$.

Обычно тело, показанное на диаграмме красным диском, намного, намного, намного массивнее тела, следующего по черной кривой траектории. В этом случае масса меньшего объекта не имеет отношения к траектории.

Что касается «высоты», то расстояние наибольшего сближения с центром тела, а также скорость сближения и масса большого тела определяют$\theta$. См. этот ответ , чтобы узнать, как его рассчитать. ($\delta$есть$\pi-2\theta$здесь). Конечно, важно, чтобы максимальное расстояние подхода от центра тела было больше, чем радиус тела, чтобы у вас не было очень сильного и чрезвычайно короткого замаха.

Мы должны иметь в виду термин относительная скорость. Где Vi — начальная относительная скорость, а Vf — конечная относительная скорость.

Vi = V1 + U

Vf = -V2 + U

Так как Vi = -Vf, то V1 + U = V2 - U; после выполнения простых алгебраических вычислений мы получаем, что V2 = V1 + 2U, где V2 — конечная скорость космического челнока, V1 — начальная скорость, а U — орбитальная скорость планеты, к которой космический челнок приблизился, чтобы совершить бросок из рогатки.

Поучительно проанализировать столкновение с инерциальной системой, покоящейся относительно планеты ² ; эта инерциальная система движется со скоростью планеты$U$относительно «покоящегося» наблюдателя. Это возможно, потому что физика не меняется, когда мы смотрим на них из другой инерциальной системы.

С точки зрения планеты встреча не впечатляет: небольшой зонд приблизится, развернется и затем улетит ^с той же скоростью, которую мы называем$v_{rel}$( относительная скорость относительно планеты).

Теперь преобразуйте относительные скорости зонда в те, которые видит «отдыхающий» наблюдатель, просто компенсируя движение планеты вычитанием вектора ее скорости. Это означает

• вычесть скорость планеты из скорости приближающегося зонда (потому что его приближение кажется более быстрым, наблюдаемым с планеты, чем «на самом деле», поскольку планета «на самом деле» движется к нему);
• и добавьте скорость планеты к уходящему зонду (его уход от планеты кажется более медленным, потому что планета следует за ним).

Вуаля, результат: Скорость приближающегося зонда с точки зрения наблюдателя равна$v_{rel}-U$а скорость вылета$v_{rel}+U$, разница 2U.

Этот механизм заставляет сложенные мячи высоко подпрыгивать, и, как показано на связанной странице, его можно понять при той же смене инерциальных систем.

_{² Планета находится на эллиптической орбите, поэтому, строго говоря, не является источником инерциальной системы; но ошибка во время короткой встречи невелика. В конце концов, мы обычно рассматриваем кабинеты физики как инерциальные системы, хотя они совершенно точно не являются...}