Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Обратите внимание, что в потенциальном $-1/(x^4+1)$хотя количество состояний было бы конечным...

Извините, у меня все еще есть небольшая путаница, так как я ничего не знаю о ВКБ... Я использовал численное интегрирование, чтобы найти 4 собственных значения, которые меньше 0, а остальные больше 0... Я думал, что только энергия больше 0 не ограничены

@tjkt: вызовите WKB в этом контексте квантование Бора-Зоммерфельда , и вы могли быть знакомы с этим. Если числа дают вам только 4 собственных значения, то числа неверны. Однако вы не указали ни гамильтониан, ни гильбертово пространство. Я предполагал, что вы хотите решить уравнение Шредингера на $x\in \mathbb{R}$...

так что, если это правда, имеет ли SHO бесконечные связанные состояния для потенциала <0?

@tjkt: потенциал простого гармонического осциллятора не стремится к нулю, поскольку $x \rightarrow \infty$. Вы не можете использовать SHO в качестве модели для понимания поведения вашей системы, когда энергия связанных состояний приближается к нулю.

В пределе $x_0 \rightarrow 0$, потенциал выглядит как дельта-функция веса $-\pi x_0$и вы ожидаете только одно связанное состояние, близкое к нулевой энергии. Метод WKB здесь не работает или я ошибаюсь?

@Praan: я бы сказал, что немного проще думать, что для $x_0\to 0$вы получаете дельта-функцию. Это тот факт, что потенциал приближается к 0 для $x\to \infty$только нравится $1/x^2$что допускает бесконечность связанных состояний. «Настоящая» дельта-функция приближалась бы к 0 быстрее (уже для $1/x^4$вы получаете конечное число связанных состояний).

Можете ли вы дать мне несколько советов о том, как показать это численно? Я попытался обезразмерить этот SE, чтобы получить форму $1/2\frac{d^2}{ds^2} \psi - A/(1+s^2/A) \psi = B \psi$, где $A = V_{0}/\hbar \omega$и $B = E/\hbar \omega$, и $\omega$- частота гармонического осциллятора. Решив это, я получил 4 отрицательных значения, а остальные положительные.

@Fabian Хорошо, так что вы можете думать об этом потенциале как о регулярном $1/x^2$потенциал и спектр имеет точку накопления при нулевой энергии. Спасибо.

@tjkt Я подозреваю, что положительные энергии - ложные решения. Вероятно, вам понадобится очень мелкая и крупная сетка, чтобы найти больше отрицательных значений. Этого и следовало ожидать, поскольку состояние, близкое к нулевой энергии, связано лишь слабо. Может быть, вы сможете проверить волновую функцию основного состояния и первых нескольких возбужденных состояний; они должны напоминать волновые функции гармонического осциллятора.

@tjkt После более тщательного изучения я уверен, что положительные энергии ложны и еще не сошлись. В любом случае, вы никогда не сможете найти полный спектр численно, поскольку вам потребуется бесконечная точность. Может быть, график зависимости энергии основного состояния от регулятора. $A$(или $x_0$или $m$) было бы здорово. На самом деле (для $V(x) = -1/(x^2+m^2)$) это очень интересно и связано с сингулярными потенциалами и нарушением аномальной симметрии.