Как найти оставшуюся подгруппу после того, как некоторая линейная комбинация полей Хиггса получит VEV?

Следуйте за голдстонами! Я ожидаю, что любой полезный учебник по нарушению симметрии, охватывающий теорему Голдстоуна на любой глубине, расскажет вам, как именно найти сломанные генераторы, а, следовательно, и уцелевшие. Однако иногда тексты влюбляются в математическую абстракцию, и их сообщение скрыто от учащихся.

Вот процедура «сиденья в штанах», которую, если вы освоите, вы можете абстрагироваться на математическом языке, чтобы (в основном) сбить с толку своих друзей - жизнь слишком коротка, чтобы найти для нее оправдание. Я привожу его здесь, так как ваша странная формальная метафора, приведенная выше, может упустить ключевой момент задействованной линейной алгебры. Но я нарушу все симметрии, в данном случае SO(3). Потенциал важен. Вы можете увеличить группу до более высоких N для сохранившихся симметрий, но суть в том, чтобы правильно отслеживать нарушенные!

Рассмотрим двойную SO(3) σ -модель с двумя вещественными триплетами Хиггса, поэтому в векторе impep$\Phi_1$и$\Phi_2$. Принять возможность, со злым умыслом, быть

$$V\propto (\vec{\Phi_1} ^2 -a^2)^2 + (\vec{\Phi_2} ^2 -b^2)^2 + \lambda (\vec{\Phi_1}\cdot \vec{\Phi_2} )^2.$$ Функция последнего члена со строго положительным λ состоит в том, чтобы препятствовать выравниванию vev двух троек, поэтому их можно выбрать или повернуть так, чтобы, wlog, для удобства, $$\langle \vec{\Phi_1}\rangle = \left( \begin{array}{c} a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \langle \vec{\Phi_2}\rangle= \left( \begin{array}{c} 0 \\ b\\ 0 \end{array} \right)$$ .

Теперь центральным моментом SSB, предположительно подчеркнутым в ваших текстах, является обращение в нуль вращений Хиггса, оцененных в вакууме, поэтому, тогда, для бесконечно малых углов θ, размеченных в соответствии с соответствующими образующими$L_x,L_y,L_z$они прикрепляются к,

$$\langle \delta\vec{\Phi_1}\rangle = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \theta_z a\\ -\theta_y a \end{array} \right) \qquad \langle \delta\vec{\Phi_2}\rangle= \left( \begin{array}{c} -\theta_z b \\ 0\\ \theta_x b \end{array} \right)$$ .

Необращение в нуль этих преобразований vevs сигнализирует о голдстоуновских модах сломанных образующих, соответствующих углам, присутствующим на правой стороне. То есть 1-й Хиггс ломается.$L_y,L_z$,
а второй$L_x,L_z$, но который является голдстоном φ сломанной$L_z$? Обратите внимание на (ненормализованную) комбинацию$\langle \delta\varpi\rangle=\langle \delta (b\Phi^y_1 +a\Phi^x_2 )\rangle=0$, так это не голдстон битых$L_z$. Вместо этого его ортогональная комбинация,$\phi=(a\Phi^y_1 -b\Phi^x_2 )$есть, так что$\langle \delta (a\Phi^y_1 -b\Phi^x_2)\rangle = \theta_z (a^2+b^2)$. Далее обратите внимание, конечно ,$\langle \phi\rangle=0$. (Естественно,$\langle \varpi\rangle=0$, также.)

Также полезно вычислить вакуумное значение второй вариации потенциала, недиагональной матрицы масс 6x6,$\langle \delta^2 V/\delta \phi_i \delta \phi_j\rangle$, чтобы заметить, что существует 3 нулевых и три ненулевых собственных значения: помимо двух исходных очевидных голдстонов, отмеченных выше, третий нулевой собственный вектор - это в точности новый голдстон, (0,a,0,-b,0,0) = φ в этих обозначениях. Вывод состоит в том, что необходимо анализировать именно вариации линейных комбинаций в вакууме, а не связанную с ними комбинацию vev-приобретения напрямую.