Как найти тангенциальную/радиальную/угловую скорость движения по любой кривой? [закрыто]

Вектор скорости частицы, следующей по заданному пути, параметризован как

$$\vec{v} = \vec{e} \,v$$

где$\vec{e}$- касательный вектор и$v$скорость в этот момент. Это вроде очевидно. Но вы используете приведенное выше, чтобы найти вектор касательной, если вы знаете, что радиальный вектор$\vec{r}$. Использовать$\vec{v} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{r} = \vec{e} v$. Так, например, если положение является функцией угла$\theta$(как и с полярными координатами) у вас есть

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \dot{\theta} = \vec{e}\,v$$

или

$$v = \dot{\theta} \| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \|$$

и

$$\vec{e} = \frac{ \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} }{ \| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \| }$$

Теперь самое интересное. Ускорение параметризуется как

$$\vec{a} = \vec{e}\,\dot{v} + \vec{n}\, \frac{v^2}{\rho}$$

где$\vec{n}$является нормальным направлением пути и$\rho$радиус кривизны пути. Часть ускорения вдоль$\vec{n}$идет в сторону изменения направления движения и части вдоль$\vec{e}$меняет скорость.

Плоская частица, движущаяся со скоростью$(\dot{x},\dot{y})$будет иметь радиус кривизны, равный

$$\frac{1}{\rho} = \frac{\dot{y} \ddot{x} - \ddot{y} \dot{x}}{\left( \dot{x}^2+\dot{y}^2\right)^\frac{3}{2}}$$

Это означает, что в системе координат, где частица направлена ​​к оси +x, вектор скорости равен

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} \dot{r} & r \dot{\theta} \end{pmatrix}$$

$$v = \sqrt{\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2}$$

и вектор ускорения

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{\dot{r}}{v} & \frac{r \dot{\theta}}{v}\end{pmatrix} \frac{r^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+r \dot{r}\dot{\theta}^2+\dot{r} \ddot{r}}{v} + \begin{pmatrix}\frac{r \dot{\theta}}{v} & -\frac{\dot{r}}{v}\end{pmatrix} \frac{r^2\dot{\theta}^3+r(\dot{r}\ddot{\theta}-\ddot{r}\dot{\theta})+2\dot{r}^2\dot{\theta}}{v}$$

$$\dot{v} = \frac{r^2\dot{\theta}\ddot{\theta}+r \dot{r}\dot{\theta}^2+\dot{r} \ddot{r}}{v}$$ $$\frac{v^2}{\rho} = \frac{r^2\dot{\theta}^3+r(\dot{r}\ddot{\theta}-\ddot{r}\dot{\theta})+2\dot{r}^2\dot{\theta}}{v}$$

Итак, радиальное ускорение$\ddot{r}$введите оба термина (изменение скорости и изменение направления), как вы можете видеть выше.

Тогда забудьте о векторах. Просто посмотрите на это интуитивно, физически.

• Если вы толкаете спидер, чтобы ускориться, то вы ускоряетесь вперед. И скорость увеличивается.
• Если вы тормозите, то вы замедляетесь и снижаете скорость. Это снова ускорение, но отрицательное. Или мы могли бы сказать назад.

Что, если у вас есть ракетный двигатель, установленный на автомобиле, направленный в сторону? Запуск с этого не помогает движению автомобиля по дороге. Это не ускорение автомобиля или торможение на дороге.

Скорее это толкает машину вбок . Ускорение в сторону. Это означает, что теперь вы также получаете боковую скорость. Таким образом, общая скорость теперь внезапно становится как прямой , так и поперечной; их объединение похоже на добавление их в виде векторов. В результате получается скорость под углом !

А теперь, кто из них перевернул машину. Поскольку скорость теперь немного в другом направлении, что-то должно было повернуть ее. И ускорение вперед или назад его не поворачивало, а только ускоряло или замедляло, как мы обсуждали для начала. Так что поворот происходит только из-за появившейся боковой составляющей. Которые появились от имевшихся боковых ускорений.

Общий вывод состоит в том, что прямое или обратное ускорение (назовем его тангенциальным , поскольку оно совпадает с направлением скорости) изменяет скорость, а боковое ускорение (назовем его радиальным , а почему бы и нет) вызывает поворот.

(Звучит так, как будто ваше имя здесь отличается от моего: радиальным обычно называют перпендикулярную составляющую , поскольку она указывает вдоль радиуса воображаемой окружности, по которой вы будете двигаться, если продолжите вращаться. А тангенциальная — потому что она касается этой же воображаемый круг.)

Если бы имелось угловое ускорение , то вы могли бы разделить его на компоненты, чтобы показать, что на самом деле оно просто состоит из тангенциального и радиального бита. Таким образом, он одновременно ускоряется (или тормозит) и поворачивает.

Рассмотрим произвольную траекторию$\vec{r}(t) = r \hat{r}$измеряется от начала координат в полярных координатах ( https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system ).

Тогда скорость равна:$\vec{v} = \frac{d}{dt}\vec{r} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r \frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$. Таким образом, относительно начала координат радиальная часть скорости равна$\frac{dr}{dt}$что представляет собой изменение расстояния объекта от начала координат; тангенциальная часть$r \frac{d\theta}{dt}$что является просто изменением направления объекта, с$r$определение длины дуги, огибаемой объектом при изменении его направления.

Вы были бы довольно точны, сказав: «радиальная скорость отвечает только за изменение расстояния между объектами, а перпендикулярная ей составляющая — только за изменение направления».

Почему?

Рассмотрим каждый случай индивидуально:

1) Объект имеет только «лучевую скорость», то есть он направлен прямо в сторону (или в сторону) наблюдателя:$\mathbf v = v_0 \hat {\mathbf r}$.

Ну, он движется прямо к вам или от вас, настолько «прямо», насколько это возможно.

2) Объект имеет только «угловую скорость», которую мы примем равной$\hat \theta$направление (представьте себе двумерный мир), поэтому$\mathbf v = v_0 \hat {\mathbf \theta}$.

Это относится к чему-то, чей радиус от вас никогда не меняется, поскольку он всегда движется в направлении «тета» от наблюдателя. Это круговое движение. Обратите внимание, это меняется в зависимости от положения! (и по этой причине в отличие от декартовых координат, которые не зависят от времени/ориентации).