Как операция частичного транспонирования выглядит в матричной форме?

Оператор$M$действующий в векторном пространстве$V_A \otimes V_B$можно разложить как:$M = \sum_{ij} c_{ij} A^{(i)} \otimes B^{(i)}$с$A^{(i)}$действующий на$V_A$и$B^{(j)}$действующий на$V_B$. Использование матриц для обозначения$M$,$A^{(i)}$и$B^{(i)}$:

$$M = \sum_{ij} c_{ij} \left( \begin{array}{ccc} a^{(i)}_{11} B^{(i)} & a^{(i)}_{12} B^{(i)} & \cdots \\ a^{(i)}_{21} B^{(i)} & a^{(i)}_{22} B^{(i)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array} \right)$$

Тогда частичные транспозиции:

$$M^{T_A} = \sum_{ij} c_{ij} \left( \begin{array}{ccc} a^{(i)}_{11} B^{(i)} & a^{(i)}_{21} B^{(i)} & \cdots \\ a^{(i)}_{12} B^{(i)} & a^{(i)}_{22} B^{(i)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array} \right) \\ M^{T_B} = \sum_{ij} c_{ij} \left( \begin{array}{ccc} a^{(i)}_{11} (B^{(i)})^T & a^{(i)}_{12} (B^{(i)})^T & \cdots \\ a^{(i)}_{21} (B^{(i)})^T & a^{(i)}_{22} (B^{(i)})^T & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{array} \right)$$

В скобках примечание, если матрица$M$читает

$$M=\sum_{ijkl}M_{ij,k\ell} \lvert i,j\rangle\!\langle k,\ell\rvert\equiv \sum_{ijkl}M_{ij,k\ell} (\lvert i\rangle\!\langle k\rvert\otimes\lvert j\rangle\!\langle \ell\rvert),$$ то его частичное транспонирование относительно второго пространства равно $$M^{T_B}= \sum_{ijkl}M_{ij,k\ell} (\lvert i\rangle\!\langle k\rvert\otimes\lvert \ell\rangle\!\langle j\rvert).$$

Эквивалентно частичное транспонирование$M^{T_B}$это та матрица с компонентами

$$\big(M^{T_B}\big)_{ij,k\ell}=M_{i\ell,kj}.$$