Как только я вычислю тензор кривизны Римана, что мне с ним делать?

Я рассматриваю метрику Шварцшильда. Я рассчитал свои символы Кристоффеля и могу вычислить тензор Римана (я думаю). Короче говоря, я проделал огромную работу, чтобы найти такую ​​штуку, как тензор кривизны Римана. Я так понимаю, если я возьму вектор Z в точке моего многообразия, р ( Икс , Д ) Z дает мне разницу между моим исходным вектором и параллельно транспортируемым. Но я действительно не знаю, что делать дальше. Я хочу использовать этот тензор для вычисления некоторой полезной физической информации. Например, я могу использовать

в ф "=" в я + а т
рассчитать конечную скорость объекта, сброшенного за время т и ускорение а "=" г . Это пример приложения, которое дает интересную/полезную информацию. Я хочу что-то, что позволит мне сделать что-то столь же интересное с моим тензором кривизны.

Мой вопрос:

Может ли кто-нибудь предоставить мне пример того, что я могу сделать с моим тензором кривизны? Какой пример полезного приложения?

РЕДАКТИРОВАТЬ: На странице 118 Уолда он говорит

Однако решение Шварцшильда, точно описывающее внешнее поле сферического тела, предсказывает крошечные отклонения от ньютоновской теории движения планет в нашей Солнечной системе и, кроме того, предсказывает «искривление света», гравитационное красное смещение света. , и эффекты "временной задержки". Эти четыре предсказания были точно подтверждены точными измерениями.

Таким образом, я предполагаю, что один из этих четырех примеров должен каким-то образом потребовать использования тензора Римана. Возможно, кто-то может объяснить, какие из них делают и как я могу использовать свой тензор кривизны для описания этих явлений.

По памяти попробуйте сначала решение Швардшильда, меньше переменных, только r и t, меньше рутины, если вы можете удерживать угловые переменные фиксированными. Он по-прежнему использует уравнение Эйнштейна, но опускает несущественные биты.
Чтобы немного расширить, это уравнение Эйнштейна с правой стороной, установленной на ноль, пустым пространством и опущенной космологической постоянной. Опять же, это по памяти, но мне было проще понять значение искривленного пространства. Извините, если я неправильно понял ваш вопрос
Почему мы устанавливаем тензор энергии-напряжения равным нулю?
Вернее, почему мы рассматриваем пустое пространство? Я думал, что смысл в том, чтобы рассмотреть что-то с гравитацией, влияющей на это...
Предполагается, что вне черной дыры нет ни энергии, ни массы, так что это однородное уравнение. Меньше переменных, о которых нужно беспокоиться, тогда попробуйте решение kerr для вращения bh. Вы поймете, что я имею в виду, когда попробуете :)
Когда вы выполняете решение Швардшильда, вы столкнетесь с гравитационными эффектами на краю bh, так что поверьте мне немного, гравитация действительно входит в него, когда вы решаете его, внутри bh с уважением
Для вещей, которые описывает Вальд, вы обычно используете не тензор Реймана, а связь или только саму метрику. Например, ускорение частицы вблизи черной дыры задается уравнением геодезии. Возможно, вы захотите попробовать что-то вроде вывода уравнений Фридмана из уравнений Эйнштейна, но для этого вам нужно вычислить тензор Римана для метрики FRW.

Ответы (2)

Одна вещь, для которой вы можете использовать тензор кривизны, — это обнаружение сингулярностей в пространстве-времени. Для решения Шварцшильда более простые скаляры кривизны, образованные из тензора Риччи, р и р а б р а б обращаются в нуль везде из-за того, что это вакуумное решение уравнений Эйнштейна. Но поскольку в вашем распоряжении есть полный тензор Римана, вы можете вычислить то, что называется скаляром Кречмана, р а б с д р а б с д . Вы должны найти это в р "=" 2 М этот скаляр конечен, тогда как метрика Шварцшильда в обычных координатах там сингулярна. Это связано с тем, что сингулярность в р "=" 2 М в метрике как раз из-за неудачного выбора координат. Однако, если вы оцениваете этот скаляр в р "=" 0 , вы обнаружите, что она расходится в бесконечность, что указывает на сингулярность кривизны. Это настоящая сингулярность, от которой нельзя избавиться заменой координат.

@ 0celo7 Правда, в общем случае, используя скаляры кривизны, вы не гарантируете, что найдете особенности. Но оно обеспечивает полезное достаточное условие, применимое в самых разных случаях.
@ 0celo7 Также вселенные FRW имеют сингулярность кривизны при Большом взрыве. Скорость Хаббла вносит свой вклад в искривление пространства-времени, которое расходится при Большом взрыве.
Ах да, это кривизна пространства постоянна. Мои извинения.

У вас неправильный порядок, в котором вы «получаете» вещи. Вы получаете тензор энергии-импульса из вашей конкретной теории материи. Вы не знаете, что г а б является. Затем, учитывая некоторые общие предположения о вашем пространстве-времени, вы записываете анзац для метрики. Для Шварцшильда у нас есть независимость от времени и С О ( 3 ) изометрия. Затем вы вычисляете тензор Риччи и скалярную кривизну вашего анзаца и подставляете его в уравнения Эйнштейна с тензором энергии-импульса, полученным выше на RHS. Затем вы решаете уравнения Эйнштейна ( 1 ) . Константы интегрирования определяются различными методами.

Во всех этих задачах используется сама метрика в виде геодезического уравнения, а не тензор Римана.

( 1 ) Это примерно так же просто, как «убить Бэтмена».

Как только я вычислю тензор кривизны Римана, что мне с ним делать?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v