Как я могу доказать, что нётеровский заряд на самом деле представляет собой сохранение электрического заряда?

У меня есть вопрос о теореме Нётер о глобальной калибровочной инвариантности комплексного скалярного поля. Начиная с

$$\begin{equation} \mathscr{L} = \partial_{\mu}\Phi \partial^{\mu}\Phi^{*} + \frac{m^2c^2}{2\hbar^2}\Phi\Phi^{*}, \end{equation}$$ поскольку поле глобально инвариантно, у меня есть сохраняющаяся величина, выражающая сохранение заряда. Сохраняющийся ток для вышеуказанного поля равен $$\begin{equation} J^{\mu} = i\lambda(\Phi \partial^{\mu}\Phi^{*} - \Phi^{*}\partial^{\mu}\Phi), \end{equation}$$ что означает, что мое сохраняемое количество в определенный момент времени равно $$\begin{equation} Q = \int{J^0}d^3x = i\lambda\int{\bigg(\Phi \frac{\partial}{\partial t}\Phi^{*} - \Phi^{*}\frac{\partial}{\partial t}\Phi}\bigg)d^3x = constant. \end{equation}$$

Я рассматривал поверхностную часть интеграла, удаленную продолжением поверхности на бесконечность, в которой я считаю ее нулевой. Мой вопрос: как я могу доказать, что подынтегральная функция, приведенная выше, на самом деле представляет собой сохранение электрического заряда?

Я полагал, что смогу объяснить это, не удаляя пространственный интеграл и не вспоминая теорему Гаусса или переопределяя$\lambda$параметра, но это можно было бы сделать и для других сохраняющихся величин, которые не представляют сохранения электрического заряда. Итак, как я могу это доказать?