Собственные значения и собственные векторы

Прежде чем конкретно обратиться к матрице монодромии, важно убедиться, что у вас есть физическое понимание того, что представляют собой собственные значения и собственные векторы в целом. Я настоятельно рекомендую видео 3blue1brown на YouTube по этой теме:

Ниже я остановлюсь на важных моментах.

Рассмотрим двумерный$x-y$плоскость для простоты с общим вектором, обозначенным$\overrightarrow{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$. Мы можем просмотреть матрицу$A$,

$$\begin{align} A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \end{align}$$ как линейное преобразование, которое может работать с подобными$\overrightarrow{a}$. Для визуализации эффекта$A$был бы на$\overrightarrow{a}$, рассмотрим эффект, который он оказывает на единичные векторы системы координат. В исходной системе единичные векторы задаются линией, соединяющей начало координат с$\hat{i} = [1 \ 0]$и$\hat{j} = [0 \ 1]$, соответственно. Первый столбец$A$сообщает нам координаты того места, где единичный вектор$\hat{i}$приземлился бы, если бы мы применили линейное преобразование, а второй столбец сообщает нам те же координаты, связанные с преобразованием$\hat{j}$. (Для проверки работоспособности проверьте мысленно, что это согласуется с единичной матрицей, возвращающей исходный вектор, и с тем, как любой скаляр$k$умножение на единичную матрицу имеет простой эффект растяжения исходного вектора.)

Так почему это важно? Ну, это дает нам возможность визуализировать, что происходит с любым произвольным вектором, таким как$\overrightarrow{a}$когда мы применяем линейное преобразование$A$. $x$и$y$координаты$\overrightarrow{a}$будет повернут и/или растянут в соответствии с тем, как$A$вращает и растягивает единичные векторы системы (вы можете визуализировать это как само вращающееся/растягивающееся 2D-пространство). Теперь давайте рассмотрим частный случай того, что может произойти. Из-за особого способа, которым линейное преобразование вращает и/или сжимает двумерное пространство, могут существовать определенные векторы, которые в конечном итоге только расширяются или сжимаются, не изменяя своего направления. Очевидным примером является случай, упомянутый ранее: единичная матрица, умноженная на скаляр, которую мы можем легко визуализировать как растяжение любого вектора, над которым она работает. Другие случаи труднее визуализировать, но все они могут быть описаны следующим соотношением

$$\begin{align} A\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{v} \end{align}$$ Это говорит о том, что когда линейное преобразование работает с некоторым вектором$\overrightarrow{v}$, вектор растягивается вдоль направления, на которое он уже указывает, с некоторым коэффициентом$\lambda$. Для конкретного преобразования мы называем набор векторов$\overrightarrow{v}$которые демонстрируют такое поведение, собственные векторы , и мы называем фактор, на который они растягиваются$(\lambda)$собственные значения , соответствующие векторам.

Матрица перехода состояний

Вы правильно определяете матрицу монодромии. Однако стоит потратить минуту на то, чтобы вспомнить, откуда берется матрица переходов состояний (STM) и что она представляет. А именно, нелинейные ОДУ могут быть дорогими для вычисления. Если мы решим для состояния во времени,$\overrightarrow{X}(t)$, вытекающий из конкретного начального условия,$\overrightarrow{X}_0$, было бы неплохо, если бы можно было приблизительно решить, как$\overrightarrow{X}(t)$изменения из-за возмущений в$\overrightarrow{X}_0$, без повторного решения нелинейного ОДУ. (Здесь можно предположить$\overrightarrow{X}$обозначает положение космического корабля + скорость). Если мы возьмем ряд Тейлора для некоторой точки будущего,$\overrightarrow{X}_f$, как функция начальной точки, подверженной малому возмущению, обозначаемому$\delta \overrightarrow{X}_0$, у нас есть

$$\begin{align} \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0 + \delta \overrightarrow{X}_0) = \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0) + \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 + \frac{1}{2} \delta \overrightarrow{X}_0^T \frac{\partial^2 \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0^2} \delta \overrightarrow{X}_0 + \cdots \end{align}$$ Чтобы определить линеаризацию, мы усекаем все члены после первого. Тогда возмущенное конечное состояние определяется выражением $$\begin{align} \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0 + \delta \overrightarrow{X}_0) - \overrightarrow{X}_f(\overrightarrow{X}_0) = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 \\ \delta \overrightarrow{X}_F = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \delta \overrightarrow{X}_0 \end{align}$$ Другими словами, возмущение в начальном состоянии передается возмущению в конечном состоянии с помощью этой матрицы, которую мы называем матрицей переходов состояний, $$\begin{align} \Phi(t_f,t_0) = \frac{\partial \overrightarrow{X}_f}{\partial \overrightarrow{X}_0} \end{align}$$ чье имя теперь имеет интуитивно понятный смысл. Если мы смоделируем небольшое возмущение во времени$t=t_0$, то мы можем распространить его вперед и аппроксимировать полученное возмущение при$t=t_f$(для небольших изменений это хорошее приближение).

Матрица монодромии

Как вы определяете в вопросе, матрица монодромии$M$Матрица переходов состояний (STM)$\Phi$после одного орбитального периода. Другими словами, при наличии возмущения в некоторой точке орбиты матрица монодромии сообщает нам о влиянии этого возмущения на один период позже. Теперь мы можем приступить к фактическому ответу на ваш вопрос. Давайте сначала обратимся к следующему: «Какова физическая интерпретация собственных векторов и собственных значений матрицы монодромии?»

Как обсуждалось ранее для общего линейного преобразования$A$, его собственные векторы говорят нам, какие векторы/направления, если таковые имеются, чисто расширяются или сжимаются при$A$, а собственные значения указывают, насколько. В контексте матрицы монодромии собственные векторы представляют одно и то же. Другими словами, собственные векторы описывают направления, вдоль которых будет масштабироваться приложенное возмущение . В зависимости от собственного значения возмущение, приложенное в направлении, заданном собственным вектором, будет либо возрастать ($\lvert \lambda \rvert > 1$), увлажнить ($\lvert \lambda \rvert < 1$), или остаться прежним ($\lvert \lambda \rvert = 1$). Хотя всего имеется 6 собственных векторов/собственных значений, для CRTBP можно показать, что два из них являются комплексными, а из оставшихся четырех действительных собственных значений существуют в обратных парах, где одна пара представляет собой просто единицу. Поэтому нас интересует в первую очередь оставшаяся пара собственных значений,$\lambda_1$и$\lambda_2 = 1/\lambda_1$. Поскольку это взаимная пара, если собственное значение не равно единице, то будет и направление роста, и направление сокращения. Если возмущение со временем затухает, то направление называется устойчивым; а если возмущение растет, то направление считаем неустойчивым. Устойчивые и неустойчивые направления естественным образом существуют парами в CRTBP.

Инвариантные многообразия

Следующая часть вашего вопроса спрашивает, как собственные векторы приводят к инвариантным многообразиям на гало-орбите. Теперь, когда мы понимаем, как собственные векторы соответствуют стабильным/нестабильным направлениям, мы можем ответить на эту часть вашего вопроса. Вместо того, чтобы давать «хрестоматийное определение» инвариантных многообразий, давайте сформулируем пару фактов, которые мы теперь понимаем, о любом примере гало-орбиты, и мы увидим, что смысл инвариантных многообразий естественным образом выпадает.

Рассмотрим космический корабль, пересекающий любую эталонную нестабильную гало-орбиту (под неустойчивой мы подразумеваем только то, что собственные значения матрицы монодромии не все равны единице). Теперь мы знаем, что в каждой точке этой орбиты существует устойчивое и неустойчивое направление. Если бы мы применяли возмущение в неустойчивом направлении в каждой точке орбиты, мы могли бы создать "семейство" траекторий, которые экспоненциально отклоняются от опорной орбиты, распространяясь вперед во времени. Обратите внимание, что путешествие «назад во времени» по любой из этих нестабильных траекторий приведет к приближению к эталонной гало-орбите.

Что, если бы мы захотели определить траектории, приближающиеся к эталонной орбите вперед во времени? В этом случае мы могли бы рассматривать возмущение в стабильном направлении, а затем распространяться назад во времени. Найдите минутку, чтобы подумать об этом, если это звучит странно. Причина, по которой мы распространяемся назад во времени, заключается в том, что это показывает нам примерные пути, по которым может быть размещен космический корабль, чтобы приблизиться к эталонной орбите в стабильном смысле (напомним, что возмущение гасится, когда оно применяется в этом направлении).

Мы называем множество всех траекторий, прибывающих вперед во времени к опорной орбите, ее устойчивым многообразием, а множество всех траекторий, прибывающих назад во времени, — ее неустойчивым многообразием (поскольку они уходят вперед во времени). Таким образом, мы видим, что собственные векторы матрицы монодромии можно использовать для вычисления инвариантных многообразий для конкретной периодической орбиты. Кроме того, мы можем начать лучше понимать мотивацию использования стабильных/нестабильных многообразий для проектирования траекторий в CRTBP. Нестабильные и стабильные многообразия обеспечивают естественные механизмы перехода на периодические орбиты и обратно, предлагая философию проектирования эффективных траекторий между различными орбитами.