Калибровочный потенциал над S4S4\mathbb{S}^4 по сравнению с R4R4\mathbb{R}^4

Через стереографическую проекцию $\mathbb R^n$может быть сопоставлен с$S^n$минус балл. Если$\mathbb R^n$компактифицируется включением «бесконечно удаленной точки», карта относится ко всему$S^n$.

Следующее для$\mathbb R^2$и$S^2$потому что их легче рисовать, но это обобщает$\mathbb R^n$и$S^n$если расписать преобразования.

Поместите 2-сферу в евклидово 3-мерное пространство с ее «южным полюсом» в начале координат и пусть касательная плоскость в этой точке будет$xy$-самолет. Для каждой точки$P$в$xy$-плоскость, провести линию от$P$к северному полюсу сферы (изображение с Wikimedia Commons ):

Линия пересекает сферу ровно в одной точке, и каждая точка на сфере, кроме северного полюса, соответствует точке на плоскости. Таким образом, мы получаем карту между$\mathbb R^2$и$S^2$минус балл. Если мы включим «точку в бесконечности», она будет направлена ​​на северный полюс.

Можно показать, что это отображение конформно, т. е. сохраняет углы. Таким образом, любое конформно-инвариантное уравнение (т. е. зависящее только от углов между векторами) мы можем одинаково хорошо рассматривать как уравнение на$\mathbb R^n$или на$S^n$.

«Точка в бесконечности» может бросить ключ в это, потому что обычно есть некоторые граничные условия на бесконечности для$\mathbb R^n$-теория, и нужно подумать, как перенести их в$S^n$теория. Это может зависеть от топологии решений, но я уверен, что именно этому вас научит ваша книга.