Когда мы сможем поднять более низкие индексы «нетензоров», как это описано в книге Дирака «Общая теория относительности»?

Question

Когда мы сможем поднять более низкие индексы «нетензоров», как это описано в книге Дирака «Общая теория относительности»?

Стивен Томас Хаттон

Это продолжение моего предыдущего вопроса: книга Дирака *Общая теория относительности*: разве это не показывает, что частная производная метрического тензора равна нулю?

Я не должен был совершать эту ошибку. Я "знаю" лучше. Ради собственного эго я умоляю:

Первый моральный принцип Уилера: никогда не делайте расчетов, пока не знаете ответ. Делайте оценку перед каждым вычислением, пробуйте простой физический аргумент (симметрия! инвариантность! сохранение!) перед каждым выводом, угадывайте ответ на каждый парадокс и загадку. Мужество: Никто больше не должен знать, что такое догадка. Поэтому сделайте это быстро, инстинктивно. Правильная догадка усиливает этот инстинкт. Неверная догадка приносит освежающий сюрприз. В любом случае, жизнь эксперта по пространству-времени, какой бы долгой она ни была, веселее!

Я признаю, что доктор Уилер не рекомендовал публиковать мои предположения в p.se. Тем не менее, я выиграл от ошибки. Есть несколько причин, по которым я неправильно догадался об исчезновении $g_{\alpha\beta,\gamma}$ . Во-первых, я знал, по крайней мере, при определенных обстоятельствах $g_{\alpha\beta,\gamma}$ можно заставить исчезнуть, по крайней мере локально. Насколько я сейчас помню, для этого требуется риманова нормальная локальная система координат. Я также знал, что либо частная, либо ковариантная производная метрического тензора всегда равна нулю. Но что более важно, я следовал тому, что Дирак, по-видимому, предписывает в разделе 4:

Мы можем иметь количество $N^{\mu}{}_{\nu\rho\dots}$ с различными суффиксами вверх и вниз, который не является тензором. Если это тензор, то он должен трансформироваться при смене системы координат по закону, представленному в (3.6). С любым другим законом он нетензорен. Тензор обладает тем свойством, что если все компоненты равны нулю в одной системе координат, они равны нулю во всех системах координат. Это может не выполняться для нетензоров.

Для нетензора мы можем поднимать и опускать суффиксы по тем же правилам, что и для тензора. Таким образом, например,

$г^{α ν} Н^{мю}_{ν р} "=" Н^{мю α}_{р} .$ $g^{\alpha\nu}N^{\mu}{}_{\nu\rho}=N^{\mu\alpha}{}_{\rho}.$

Непротиворечивость этих правил совершенно не зависит от законов перехода к другой системе координат. Точно так же мы можем сократить, поставив равными верхний и нижний суффиксы.

У нас могут быть тензоры и нетензоры, появляющиеся вместе в одном и том же уравнении. Правила уравновешивания суффиксов в равной степени применимы к тензорам и нетензорам.

Когда я впервые прочитал это, мне стало не по себе. Я знаю, что коэффициенты аффинной связи (символы Кристоффеля) обладают характеристиками «нетензоров», описанных Дираком. Я просто предположил, и ошибся, что его правило применимо к частной производной метрического тензора. Я замечаю, что в разделе 10 Дирак называет частную производную вектора в ковариантной форме «нетензором», что ошибочно предполагает, что приведенное выше предписание применимо. Вот мой вопрос:

Когда и почему мы можем применить рецепт Дирака о повышении и понижении индексов на «нетензорах»? Другими словами, почему это работает для символов Кристоффеля, но не для частных производных тензоров? Мое лучшее предположение состоит в том, что в случае символов Кристоффеля не существует ранее существовавшего определения символа Кристоффеля второго рода, поэтому мы можем определить его по желанию.

Ответы (1)

Когда мы сможем поднять более низкие индексы «нетензоров», как это описано в книге Дирака «Общая теория относительности»?

Qмеханик · Answer 1

Замечание Дирака следует использовать с осторожностью. Например, подняв нижний $\nu_1$ -индекс по нетензору

\begin{matrix} (А) & Н_{λ_{1} \dots λ_{т}}^{{мю}_{1} \dots {мю}_{р}}_{ν_{1} \dots ν_{с}} "=" \partial_{λ_{1}} \dots \partial_{λ_{т}} Т^{{мю}_{1} \dots {мю}_{р}}_{ν_{1} \dots ν_{с}}, \end{matrix}

$N_{\lambda_1\ldots\lambda_t}{}^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}~:=~\partial_{\lambda_1}\ldots \partial_{\lambda_t}T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s},\tag{A}$ Дирак означает нетензор

\begin{matrix} (Б) & Н_{λ_{1} \dots λ_{т}}^{{мю}_{1} \dots {мю}_{р} α}_{ν_{2} \dots ν_{с}} "=" г^{α ν_{1}} Н_{λ_{1} \dots λ_{т}}^{{мю}_{1} \dots {мю}_{р}}_{ν_{1} \dots ν_{с}} \end{matrix}

$N_{\lambda_1\ldots\lambda_t}{}^{\mu_1\ldots\mu_r\alpha}{}_{\nu_2\ldots\nu_s}~:=~g^{\alpha\nu_1}N_{\lambda_1\ldots\lambda_t}{}^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}\tag{B}$ а не нетензор

\begin{matrix} (С) & \partial_{λ_{1}} \dots \partial_{λ_{т}} Т^{{мю}_{1} \dots {мю}_{р} α}_{ν_{2} \dots ν_{с}} "=" \partial_{λ_{1}} \dots \partial_{λ_{т}} (г^{α ν_{1}} Т^{{мю}_{1} \dots {мю}_{р}}_{ν_{1} \dots ν_{с}}) . \end{matrix}

$\partial_{\lambda_1}\ldots \partial_{\lambda_t}T^{\mu_1\ldots\mu_r\alpha}{}_{\nu_2\ldots\nu_s} ~:=~\partial_{\lambda_1}\ldots \partial_{\lambda_t}(g^{\alpha\nu_1}T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}).\tag{C}$ уравнения (B) и (C) обычно не совпадают.

Хорошо, кажется, я вижу проблему. Правило Дирака применимо к любому нетензору. Моя ошибка была в интерпретации результата. Если я начну с нетензора $N^{\mu}{}_{\nu\rho}=T^{\mu}{}_{\nu,\rho},$ не могу поднять индекс на $N^{\mu}{}_{\nu\rho}$ и поставьте запятую обратно. Это понятнее, если написать с использованием $\partial$ символы, а не запятые.

Когда мы сможем поднять более низкие индексы «нетензоров», как это описано в книге Дирака «Общая теория относительности»?

Стивен Томас Хаттон

Ответы (1)

Qмеханик

Стивен Томас Хаттон

Почему ковариантная производная метрического тензора равна нулю?

Метрический определитель и его частная и ковариантная производная

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Как сделать так, чтобы два отдельных уравнения для символов Кристоффеля давали один и тот же ответ?

Проблема с повышением/понижением индексов в ковариантной производной [закрыто]

Вопрос от Шутца

Является ли метрическое тензорное поле тем же, что и ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

Почему естественно наложить условие неизменности метрики при параллельном переносе?

Несоответствие с частными производными как базисными векторами?