Количество топлива для разгона космического корабля

Понадобится ли мне еще 1 % моего стартового топлива, или мне потребуется больше топлива, т.е. потребление энергии будет линейным или нелинейным?

Игнорируя релятивистские эффекты, вам потребуется меньше топлива, чтобы разогнаться с 10 000 км/ч до 20 000 км/ч, а не с 0 км/ч до 10 000 км/ч. Хотя 20000 км/час звучит быстро, на самом деле это довольно медленно. Этого даже недостаточно, чтобы вывести вас с земли на орбиту вокруг Земли, для чего требуется Δv где-то между 34 000 км/час и 40 000 км/час. Эти 20 000 км/час также очень медленны по сравнению со скоростью света, которая составляет немногим более 1 000 000 000 км/час. Релятивистские эффекты начинают проявляться примерно при 1% скорости света и не имеют существенного значения примерно до 10% скорости света.

Я великодушно предположу, что ваша ракета изначально состояла из 90% топлива по массе. (Создать ракету, масса которой изначально составляет 85% топлива, сложно.) Я также предполагаю, что ваша ракета находится в пустом пространстве, на достаточном удалении от любых гравитирующих тел. В этом случае применяется уравнение идеальной ракеты :

$$\Delta v = v_e \ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$ Ваша ракета достигла скорости Δv 10000 км/ч после сжигания 10% исходного топлива. Это означает, что ваша ракета имеет скорость истечения 29,45 км/с (106033 км/ч), что соответствует классу типичного ионного двигателя.

Если ракета сожжет все топливо, разгоняясь по прямой, то конечная скорость составит 244148,9 км/час. Это более чем в два раза превышает значение, наивно полученное путем умножения ваших 10 000 км/час на десять.

Это регулируется уравнением ракеты Циолковского.

$$\Delta V = ln\left( \frac{M_{i}}{M_{f}} \right)v_e$$

куда$\Delta V$ваше общее изменение скорости,$v_e$- эффективная скорость выхлопа вашего двигателя,$M_{i}$- масса до сжигания, а$M_{f}$- масса в конце горения.

Вот в чем проблема - требуется минимальное отношение масс, чтобы достичь определенного$\Delta V$для заданной эффективной скорости выхлопа, определяемой выражением

$$\frac{M_i}{M_f} = e^\left(\frac{\Delta V}{v_e}\right)$$

Из-за экспоненциального члена отношения масс становятся ужасными, если вы стремитесь к более высоким значениям.$\Delta V$. Что бы мы ни летали сегодня, они становятся огромными из-за того, что достигают скоростей, превышающих крошечные доли$c$. По этой причине я начинаю со скоростей порядка 0,0001.$c$. Все это сломалось бы на релятивистских скоростях, но мы не собираемся приближаться к релятивистским скоростям с обычными реактивными двигателями.

Если вы используете ионный двигатель, такой как космический корабль Dawn ($v_e$~ 30380 м/с), то отношение масс, необходимое для достижения 0,0001$c$(~30000 м/с) – 2,685; на каждый килограмм массы, которую вы хотите разогнать, вы должны затратить ~1,7 кг топлива ¹ . На сегодняшний день это самый эффективный двигатель; ССМЕ$v_e$достигает максимума ~ 4410 м / с в вакууме, что дает нам отношение масс чуть более 900 (899 кг топлива на каждый кг конечной массы).

Это означает, что мы должны работать в обратном направлении; если мы хотим сделать два горения, мы должны сначала определить, сколько топлива нам нужно зарезервировать для второго горения, а затем учесть это в расчетах для первого горения. Мы предполагаем магические топливные баки без массы.

Для второго сжигания мы разгоняем только сухую массу космического корабля на 30000 м/с. Если наш космический корабль весит 1000 кг, а отношение масс ~2,7, это означает, что нам нужно зарезервировать 1700 кг топлива для этого сжигания.

Для первого горения мы разгоняем космический корабль плюс топливо, необходимое для второго горения. Наш$\Delta V$то же самое, поэтому наше соотношение масс такое же, поэтому нам нужно 1,7 * (1000 + 1700) = 4590 дополнительных килограммов топлива, для общей стартовой массы 8290 кг.

Я упомянул, что соотношение масс становится ужасным, когда вы$\Delta V$Продолжается. Если вы хотите ускориться на 0,001$c$(300000 м/с), отношение масс двигателя Dawn подскакивает до ~19437; на каждый кг массы, которую вы хотите разогнать, вы должны израсходовать более девятнадцати тысяч кг топлива.

Мы не достигнем ничего близкого к скорости света, используя какой-либо реактивный двигатель, который должен нести собственное топливо. Вам нужно либо набирать массу топлива во время полета (ПВРД Bussard), использовать солнечные или лазерные паруса, либо использовать настоящий безреактивный двигатель, такой как варп-двигатель из «Звездного пути».

---

1. Отношение масс равно массе пороха плюс конечная масса, деленная на конечную массу. Соотношение масс 2 означает, что у нас есть 1 кг топлива на каждый кг конечной массы, отношение масс 3 означает, что у нас есть 2 кг топлива на каждый кг конечной массы и т. д. Таким образом, мы вычитаем 1 из отношения масс, чтобы получить цифру сколько топлива мы используем.

Ответы, использующие уравнение ракеты Циолковского, хороши, но они могут не прояснить основную физику. Будет проще, если мы возьмем случай$\Delta V\ll v_e$. В этом приближении масса корабля постоянна. Тогда возникает вопрос, пропорционально ли используемое топливо конечному импульсу ракеты (который линейно зависит от$\Delta V$), или его конечная кинетическая энергия (которая выглядит как$\Delta V^2$). Это кажется парадоксом, потому что в ракете топливо обеспечивает как импульс (реактивную массу) , так и кинетическую энергию.

Разрешение парадокса состоит в том, что в конечном состоянии в ракете присутствует не только кинетическая энергия. В топливе есть и кинетическая энергия. Так что ошибочно полагать, что мы должны использовать топливо-энергию пропорционально$\Delta V^2$. Расход топлива пропорционален$\Delta V$.

Другой способ увидеть это состоит в том, что мы можем выбрать систему отсчета, которая на мгновение находится в покое относительно корабля в какой-то момент времени после того, как он уже начал ускоряться. В этом кадре КПД двигателя должен быть таким же, как КПД, когда двигатель запускается из состояния покоя, потому что в этом кадре ракета на мгновение находится в состоянии покоя.