Коллапс волновой функции к ее собственной функции при измерении

Мы представляем коллапс волновой функции этим уравнением,$\hat{A} \phi = a \phi$.

Это неправда.$\hat{A}\phi=a\phi$есть уравнение на собственные значения оператора$A$. Это просто говорит о том, что действие оператора$\hat{A}$на собственный вектор$\phi$дает$a\phi$где$a$является ассоциированным собственным значением.

Фраза «действие оператора$\hat{A}$в штате$|\psi\rangle$"может сбить с толку. Это не означает, что физический акт измерения наблюдаемого связан с оператором$\hat{A}$. Это просто означает математическую операцию умножения данного вектора состояния на указанный оператор.

Однако вы правы, ожидая, что измерение наблюдаемой, связанной с оператором$\hat{A}$о состоянии$|\psi\rangle$надо как-то представить! Итак, как мы это представляем? Ну, мы не можем записать уравнение, которое сообщает нам конечный результат измерения оператора в состоянии из-за того факта, что результат измерения в квантовой механике фундаментально вероятностный! Если бы мы что-нибудь записали, не осталось бы сюрпризом, каков будет результат указанного измерения, не так ли? ;)

Однако мы можем записать кое-что об акте измерения. Мы говорим, что измерение оператора$\hat{A}$в штате$|\psi\rangle$приводит к собственному состоянию$|\phi_a\rangle$оператора$\hat{A}$с вероятностью$|\langle \phi_a |\psi\rangle|^2$. Как записать процесс, который принимает состояние$|\psi\rangle$государству$|\phi_a\rangle$? Очень просто, вы проецируете состояние$|\psi\rangle$на собственное состояние$|\phi_a\rangle$с оператором проектирования$\mathbb{P}_a=|\phi_a\rangle\langle \phi_a|$. Это объект, который вы искали. Понимаете,$\mathbb{P}_a|\psi\rangle=|\phi_a\rangle\langle \phi_a|\psi\rangle$что просто$|\phi_a\rangle$вплоть до нормализации.

Однако вы должны заметить, что$\mathbb{P}_a$также не совсем тот оператор, который описывает процесс измерения (даже если не принимать во внимание проблему нормализации), потому что, очевидно, нет уверенности в том, что измерение приведет к коллапсу нашего начального состояния в собственное состояние$|\phi_a\rangle$. Он также может свернуть его в какое-либо другое собственное состояние$\hat{A}$, сказать$|\phi_b\rangle$и если это произойдет, то этот процесс будет описываться действием$\mathbb{P}_b$на$|\psi\rangle$. Итак, можно сказать, что процесс измерения описывается действием проекционного оператора$\mathbb{P}_a$о состоянии$|\psi\rangle$с вероятностью$|\langle\phi_a|\psi\rangle|^2$.

Наконец, есть очень хороший способ описать результат измерения, на который вы еще не смотрели! Позвольте мне объяснить, что я имею в виду. Поскольку процесс измерения в основе своей является вероятностным, мы, очевидно, не можем записать точное состояние нашей системы после измерения. Но если мы произвели измерение, но еще не посмотрели на результат, то можно сказать, что наша система находится в собственном состоянии.$|\phi_a\rangle$с вероятностью$|\langle \phi_a|\psi\rangle|^2$. И у нас есть математический объект для описания такой системы, для которой мы знаем вероятности пребывания в разных состояниях. Она называется матрицей плотности. Матрица плотности системы, которая может находиться в состоянии$|\lambda_n\rangle$с вероятностью$p_n$дан кем-то

Итак, резюмируя, акт измерения можно описать двояко.

• Можно сказать, что измерение$\hat{A}$на$|\psi\rangle$дает$\mathbb{P}_a|\psi\rangle$(с точностью до нормировки) с вероятностью$|\langle\phi_a|\psi\rangle|^2$.
• Если вы сделали измерение, но не посмотрели на результат, вы можете сказать, что измерение$\hat{A}$на$|\psi\rangle$дал нам систему, описываемую матрицей плотности$\hat{\rho}_\hat{A}=\sum_a \langle \psi|\mathbb{P}_a|\psi\rangle \mathbb{P}_a$.

Измерение наблюдаемого$A$не представляется применением оператора$A$к волновой функции. Переход от$\psi$к$\phi$(то есть наблюдение) не может быть представлено линейным оператором, потому что это даже не функция! Как известно, специфический$\phi$вы получаете, является случайным, поэтому невозможно иметь математическую функцию, которая сообщает вам, какое состояние вы получаете.

Однако ваше уравнение говорит о том, что если вы выполните измерение и наблюдаете значение$a$, штат$\phi$после измерения удовлетворит$A\phi = a\phi$. Количество$A\psi$здесь не очень актуально.

Вы открыли проблему измерения в квантовой механике и тот факт, что эволюция во времени не описывается показанным операторным уравнением.

Именно это привело Эверетта к интерпретации Множества Миров; Между тем, в более знакомой Копенгагенской интерпретации, Википедия говорит:

«Проблема [коллапс] отклоняется Копенгагенской интерпретацией, постулирующей, что это является особой характеристикой процесса «измерения».

Полный обзор всех интерпретаций выходит за рамки этого ответа, но достаточно сказать: ваше возражение вполне обосновано.