Ковариантная и контравариантная компоненты вектора в криволинейной системе координат

Однако я не уверен, как это переводится в криволинейные системы координат.

В криволинейной системе координат «прямые» оси определяются поточечно как касательные к линиям координат в этой точке. Другими словами, и, возможно, с большей интуитивностью, координатные кривые — это кривые на многообразии, которые в каждой точке$x\in M$определить «линейную» систему координат линейного алгебраического вида в касательном пространстве$T_xM$в таком случае.

Таким образом, они работают так же, как и в линейной системе координат, но вы должны рассматривать каждое касательное пространство отдельно.

Еще одна вещь, которую я не понимаю: разве ковекторы, а не векторы, не являются математическими объектами, имеющими ковариантные компоненты? Почему мы говорим, что вектор может иметь как ковариантные, так и контравариантные компоненты?

Используя стандартную терминологию, векторы имеют контравариантные компоненты, а ковекторы имеют ковариантные компоненты.

Однако существует распространенное, так сказать, «злоупотребление перспективой». Если ваш коллектор$M$оснащен невырожденным метрическим тензором$g:TM\times_M TM\rightarrow\mathbb R$, то, как, вероятно, известно OP, метрика реализует (строгий) изоморфизм векторных расслоений между касательным расслоением и кокасательным расслоением (или, говоря алгебраически, скалярный продукт реализует изоморфизм между векторным пространством и его двойственным). Обозначим этот изоморфизм как$\sharp:T^\ast M\rightarrow TM$(«повышение») и обратное ему как$\flat:TM\rightarrow T^\ast M$("снижение").

По обычному свойству двойственных пространств, если$e_a$, ($a=1,..,n$) является локальным фреймом для$TM$, то существует единственный локальный фрейм$\theta^a$($a=1,...,n$) для$T^\ast M$что удовлетворяет$\theta^a(e_b)=\delta^a_b$. Это всем известная двойная рамка.

Но тогда мы можем применить «повышение» к$\theta^a$и получить$e^a:=\sharp\theta^a$. Теперь это локальные векторные поля (а не 1-формы/ковекторы) на$M$которые удовлетворяют (по определению метрического изоморфизма)$g(e^a,e_b)=\delta^a_b$.

Если кто-то так хочет, можно позвонить$e^a$быть «обратным фреймом», а не двойным фреймом, поскольку элементы обратного фрейма представляют собой локальные векторные поля, а не ковекторные поля.

Тогда мы можем сказать, что если векторное или локальное векторное поле$v$дано, мы можем выразить это как$v=v^a e_a=v_a e^a$ни в одном кадре. Как легко видеть, «ковариантные компоненты»$v_a$имеют те же свойства и форму, что и компоненты$\flat v$(«понижение»$v$) в двойной рамке.

Таким образом, можно вообще отказаться от ковекторов и биградуированных тензоров и считать, что все тензоры градуированы только по степени/рангу/порядку (количеству индексов), понимая, что все индексы могут быть взяты либо по отношению к системе координат, либо к ее обратной системе координат. и тогда все будет работать точно так же, как если бы вы с самого начала рассмотрели биградуированные тензоры, но вам не нужно также узнавать о двойственных пространствах и тому подобном.

Однако такой взгляд на вещи «неестественен» и требует фиксированного метрического тензора.

Еще одна вещь, которую я не понимаю: разве ковекторы, а не векторы, не являются математическими объектами, имеющими ковариантные компоненты?

ОП не имел в виду это, но я чувствую себя обязанным также сказать здесь, что «традиционная» терминология контравариантности и ковариантности полностью отстает от современной теоретико-категориальной точки зрения. Если$M,N$являются гладкими многообразиями и$\phi:M\rightarrow N$является гладкой картой, то касательные векторы (традиционно с контравариантными компонентами) переносятся по карте$\phi$через тангенциальный функтор$T:\mathsf{Diff}\rightarrow\mathsf{VecBun}$, который является ковариантным функтором , и ковекторы (которые традиционно имеют ковариантные компоненты) транспортируются назад по карте$\phi$через котангенс функтор$T^\ast:\mathsf{Diff}\rightarrow\mathsf{VecBun}$, который является контравариантным функтором .

С каких пор$\phi$является диффеоморфизмом, это, по существу, бескоординатная версия формулы замены координат, касательные векторы следует называть ковариантными, а 1-формы контравариантными.

Я думаю, нам нужно определить реципрокный базис помимо нормального базиса векторов.

Простейший случай криволинейных — это полярные координаты на плоскости. Точка$P = [X,Y]$в декартовых координатах будет$P(r,θ) = [r cos(θ) , r sin(θ)]$.

Базисный вектор теперь является функцией$P$. За нормальную основу возьмем градиент:

Хотя он ортогонален, он не ортонормирован. Определим обратные векторы:$\mathbf e^r$и$\mathbf e^θ$так что:

Следуя этим требованиям:

Теперь мы можем найти компоненты малого вектора в окрестности$P$. Во-первых, контравариантные, то есть скалярное произведение с обратным базисом (легко доказать, что для прямых координат это эквивалентно проведению параллельных линий к оси):

Если мы позвоним:$\mathbf dV.\mathbf e^r = dr\;$и$\;\mathbf dV.\mathbf e^θ = dθ$

Ковариантные компоненты представляют собой скалярное произведение вектора с нормальным базисом. Но это должно быть выражено как линейная комбинация обратного базиса:

Длина вектора:$dV^2 = \mathbf dV^i\mathbf dV_i = [dr\mathbf e_r + dθ\mathbf e_θ][dr\mathbf e^r + r^2 dθ\mathbf e^θ] = dr^2 + r^2dθ^2$

Компоненты метрического тензора:$g_{rr} = \mathbf e_r.\mathbf e_r = 1; g_{rθ} = \mathbf e_r.\mathbf e_θ = 0; g_{θr} = \mathbf e_θ.\mathbf e_r = 0; g_{θθ} = \mathbf e_θ.\mathbf e_θ = r^2$