Я прохожу курс калибровочных теорий в КТП, и у меня есть несколько вопросов о физическом смысле того, что мы делаем.
Вот что я понял:
Когда мы пишем лагранжиан , ищем его симметрии. Его симметрии — это преобразование, которое мы применяем к полям, оставляя лагранжиан неизменным.
Это означает, что мы действуем с оператором на поле и у нас будет: .
И операторы принадлежит группе.
Симметрии очень важны, потому что, согласно теореме Нётер, мы можем найти сохраняющийся ток, зная симметрии.
В калибровочных теориях допускается преобразование действовать «по-разному» на каждую точку пространства. Тогда у нас есть (x зависимость элемента группы).
Таким образом, в моем классе учитель сделал следующее:
Он заметил, что это количество:
А потом он сказал "у нас проблема, давайте введем ковариантную производную что позволит нам иметь:
Мои вопросы следующие:
Почему мы хотим иметь этот «хороший» закон трансформации? Я совсем не уверен, но это то, что я понял, и я хотел бы проверить.
Я думаю, это потому, что мы хотим записать лагранжиан как инвариантный относительно калибровочного преобразования. Чтобы сделать это, мы не начинаем с нуля: мы начинаем с члена, который, как мы знаем, должен быть в лагранжиане: . Мы видим, что этот член не является калибровочно-инвариантным, поэтому мы пытаемся модифицировать его, «заменяя» производные: . Мы видим, что если у нас есть у нас будет хороший закон трансформации. И, наконец, после некоторых вычислений находим «хорошее» это уважение .
Итак: прав ли я в своем объяснении?
Также:
Зачем нам нужен лагранжев инвариант относительно калибровочных преобразований? Есть ли в этом причина или это просто постулат? Я мог понять, что нам нужен лагранжев инвариант при глобальном преобразовании (если мы предположим, что Вселенная изотропна и однородна, это имеет смысл), но для меня требование локальной инвариантности довольно абстрактно. Какая мотивация стоит за всем этим?
Я знаю, что если у нас есть лагранжев инвариант относительно всех локальных симметрий, то он будет инвариантен и относительно глобальных симметрий, но это "все" для меня "проблемно".
Почему лагранжиан должен быть инвариантным относительно всех локальных симметрий? С моей точки зрения, это очень сильное предположение.
Я бы предпочел физический ответ, а не слишком математический.
Мы не исходим из предположения, что лагранжиан «должен» быть инвариантным относительно калибровочных преобразований. Это предположение часто делается, потому что глобальные симметрии считаются более естественными, чем локальные симметрии, и поэтому авторы пытаются мотивировать калибровочную теорию, «сделая глобальную симметрию локальной», но на самом деле это чепуха. Зачем нам нужна локальная симметрия только потому, что есть глобальная? Есть ли у нас какой-то фетиш на симметрии, так что мы хотим сделать максимально симметричную теорию возможной? Таким образом можно вывести калибровочную теорию, но с физической точки зрения это отвлекающий маневр.
Дело не в том, что мы «хотим» калибровочную симметрию, а в том, что она навязана нам, когда мы хотим описать безмассовые векторные бозоны в квантовой теории поля. Как я также упоминаю в этом своем ответе , каждый безмассовый векторный бозон обязательно описывается калибровочным полем. Лагранжева калибровочная теория эквивалентна гамильтоновой теории ограничений - в любом случае число независимых физически значимых степеней свободы меньше наивного подсчета, поскольку мы идентифицируем физические состояния, связанные калибровочными преобразованиями.
Истинная физическая мотивация калибровочных теорий заключается не в том, что «мы хотим иметь локальные симметрии, потому что симметрии аккуратны». Это «мы хотим описать мир с фотонами в нем, а это можно сделать только ковариантно с помощью калибровочной теории».
Можно также указать неквантовую мотивацию калибровочной теории: если вы запишете лагранжиан свободного электромагнетизма, мотивированный тем, что его уравнения движения являются уравнениями Максвелла , а не тем, что нам нравится калибровочная симметрия, то вы обнаружите, что он естественным образом связан с калибровочная симметрия, соответствующая хорошо известному факту, что добавление градиента к векторному 4-потенциалу физически не имеет значения. Теперь, если вы хотите связать другие поля с этим свободным электромагнетизмом, вам нужно также сделать дополнительные члены калибровочно-инвариантными, иначе теория больше не будет «электромагнетизмом, связанным с чем-то другим» в каком-либо осмысленном смысле, поскольку внезапное добавление градиентов может изменить физика. Опять же, калибровочная симметрия — это то, что можно обнаружить после физического обоснования лагранжиана чем-то другим, а не каким-то априорным предположением, которое мы ввели.
Одна из основных идей калибровочной инвариантности состоит в том, что физика существует независимо от параметризации координат (и, следовательно, калибровки), которую мы применяем к системе.
Таким образом, для сохраняющих единицу изменений координат лагранжиан (как мера «энергии» в системе) должен иметь значение, не зависящее от того, какие координаты мы выбираем.
Мотивация для ковариантных производных и т. Д. Затем состоит в том, чтобы объяснить разногласия между системами координат (и лежащим в основе физическим многообразием) того, что составляет «прямую линию» или «прямой угол».
Свободный лагранжиан инвариантен относительно глобальных калибровочных симметрий. Для этого нам не нужно вводить ковариантные производные или калибровочные поля.
Затем мы искусственно накладываем условие, что даже локальные изменения калибровки являются симметриями. Но это всего лишь математический трюк. Избыточность в нашем описании. Таким образом, лагранжиан и уравнения движения не должны зависеть от нашего выбора калибровки, потому что локальное изменение калибровки не является «физически реальным». Следовательно, мы используем ковариантную производную, чтобы убедиться, что лагранжиан остается калибровочно независимым.
Например, в случае U(1). Предположим, мы делаем локальное изменение фазы фермионного поля. Но это изменение не реально. Таким образом, у нас должен быть соответствующий термин, который также изменяется таким образом, чтобы отменить влияние этого искусственного локального фазового перехода. Это делается калибровочным полем .
Если вам нужно хорошее интуитивное понимание калибровочной теории, я настоятельно рекомендую книгу К. Мориясу « Элементарное руководство по калибровочной теории ».
Джон Донн
Фотон
Qмеханик