Квадратичный оператор Казимира многомерных представлений su(3)su(3)\mathfrak{su}(3)

Я подозреваю, что вы не спросили, что вы хотели. Операторная форма всех операторов Казимира такая же, как указывает lionelbrits, и SU (3) имеет два независимых , в отличие от SU (2), у которого есть только один, квадратичный. Два квадратичных и кубических, включенных сюда для полноты.

Однако собственные значения этих операторов меняются в зависимости от (неприводимого) представления и фактически служат для их различения и обозначения/характеризации, см. Паис (1966) .

Все состояния в данном неприводимом представлении принимают одно и то же значение для каждого оператора Казимира, который служит тождеством в пространстве с размерностью этого представления. Это связано с тем, что состояния в данном представлении связаны действием образующих алгебры Ли, а все образующие коммутируют с операторами Казимира.

Для SU (3) квадратичный Казимир равен$\hat{C_2}=\sum_k \hat{F_k} \hat{F_k}$, а кубический$\hat{C_3}=\sum_{jkl}d_{jkl} \hat{F_j} \hat{F_k} \hat{F_l}$. F̂s - это 8 нормализованных генераторов этой алгебры Ли.

Неприводимые представления SU(3) обозначаются в базисе Дынкина через$D(p,q)$, состоящий из$p$кварки и$q$антикварки (в картинах Юнга,$p$- количество столбцов с одним блоком и$q$количество двойных столбцов): они имеют размерность$d(p,q)=\frac{1}{2}(p+1)(q+1)(p+q+2)$.

Например, для тройного представления$D(1,0)$, собственное значение$\hat{C}_2$составляет 4/3, и$\hat{C}_3$, 10/9.

В более общем случае для универсального иррепа$D(p,q)$, собственное значение$\hat{C}_2$является$(p^2+q^2+3p+3q+pq)/3$, о чем, как я подозреваю, вы действительно спрашивали выше.

NB Строго говоря, в сторону: собственное значение («коэффициент аномалии») кубического,$\hat{C}_3$, является$(p-q)(3+p+2q)(3+q+2p)/18$, нечетная функция при перестановке p↔q . Следовательно, оно равно нулю для вещественных представлений, p=q , таких как сопряженное,$D(1,1)$, то есть и этот кубический Казимир, и аномалии исчезают для октета, 27 , 64 и т. д.

Алгебраическая форма квадратичного казимира$T^2$зависит только от структурных констант и поэтому одинакова в любом представлении. Как в$SU(2)$, конечно, его матричная форма зависит от представления.

Изменить: чтобы понять, почему это так, предположим, что вы построили$T^2$из других элементов алгебры, и вы сделали это, скажем, для фундаментального представления. Затем вы должны были показать, что$\left[T^2, T_i\right]=0$для всех$T_i$. Конечно, вы можете использовать только структурные константы, т.е.$[T_i, T_j] = i f_{ijk} T_k$и$\{T_i, T_j\} = \frac{1}{N} \delta_{ij} + d_{ijk} T_k$показать это. Но они не зависят от представления. Именно они определяют алгебру, т. е. делают ее$\mathfrak{su}(N)$.