Квантование против непрерывных уровней энергии

Квантование уровней энергии возникает как в квантовой, так и в классической механике и не является следствием уравнения Шрёдингера. Это следствие заточения. Фактически всякий раз, когда волновое уравнение (любое квантовое уравнение для волновой функции или классическое уравнение для классического поля, например электромагнитного поля) имеет периодические граничные условия в некоторых пространственных переменных, система демонстрирует квантованные уровни энергии.

Как замечено в вопросе и в других ответах, уровни энергии в квантовых системах не всегда квантуются. С другой стороны, и в классических системах наблюдается квантование энергетических уровней. Например, рассмотрим разрешенные частоты струны фиксированной длины (ограничения), как в гитаре или скрипке. В такой струне допустимые «энергетические состояния» соответствуют частотам (гармоникам), кратным основной частоте (первой гармонике).

В квантовой сфере энергетические уровни квантуются, если волновая функция ограничена конечным пространством, например, атомной орбиталью или квантовой ямой. В твердом теле энергетические уровни также квантуются, но разница$\Delta$между уровнями уменьшается по мере увеличения размера системы. Поэтому в термодинамическом пределе (большие размеры системы) эти квантованные уровни энергии становятся континуумом состояний, поскольку$\Delta\rightarrow0$.

В качестве примера рассмотрим плоскую волну

Технически и твердые тела, и газы имеют квантованные энергетические уровни. Разница в том, что молекулы газа очень слабо взаимодействуют с другими молекулами, поэтому уровни энергии, наблюдаемые при излучении или поглощении набора молекул газа, почти точно такие же, как уровни энергии, которые наблюдались бы, если бы у вас была одна молекула газа. в изоляции. В твердых телах атомы или молекулы взаимодействуют очень сильно, поэтому, чтобы предсказать спектр поглощения или излучения, вы должны рассматривать всю систему одновременно, что создает чрезвычайно близкие друг к другу энергетические уровни (что для всех намерения и цели становятся неотличимы от непрерывных, когда у вас порядка 10^23 атомов или молекул).

В квантовой механике уравнением движения является уравнение Шредингера.

Существуют примеры физических систем, представляющих оба поведения: стандартным примером дискретного спектра являются энергетические уровни атома водорода в его нормируемых состояниях. С другой стороны, задачи рассеяния часто связаны с непрерывными спектрами и неперенормируемыми (по крайней мере, в$L^2(\mathbb{R}^3)$) решения.

Квантование — это экспериментальный факт, который заставил физиков рассмотреть теории, которые могли бы объяснить данные. Произошло это в начале ХХ века.

1) излучение черного тела можно было бы объяснить только в том случае, если предположить, что излучение приходит квантами, т. е. не имеет непрерывного спектра.)

2) Фотоэффект показал, что свет ведет себя как совокупность частиц, и они были названы фотонами.

3) Атомы вместо сплошных спектров имели дискретные спектры

Спектр излучения водорода.

Вместо сплошного спектра излучения водород дает эти отчетливые линии. Все атомы дают спектры, которые их характеризуют.

Таким образом, квантование на уровне атомов и частиц является экспериментальным фактом.

Сначала физики пытались объяснить спектр водорода моделью планетарного типа, моделью Борха , используя классическую электродинамику. Проблема, с которой столкнулись, была двоякой,

1) Орбиты были нестабильны, малейшее возмущение заставило бы электрон, падающий на ядро, непрерывно излучать. Это было решено путем постулирования фиксированных квантованных орбит.

2) хотя спектр атома водорода можно было подогнать, обобщение на другие атомы с большим количеством электронов не сработало.

С уравнением Шредингера и сопутствующими ему постулатами появилась квантовая механика как теория, которая теперь считается базовой структурой всей природы.

Теория физики теперь в состоянии подогнать спектры всех типов атомов, а также с определенным приближением всех типов материи, от твердого до жидкого и газообразного.

1/2kx^2 — это потенциал в этом простом примере квантованной системы.

Электроны в потенциальной яме атомов/молекул/твердых тел всегда находятся на квантованных уровнях, но чем ближе к 0 потенциальной ямы находятся энергии, тем плотнее их положение и экспериментально их нельзя отличить от континуума. В твердых телах существуют коллективные потенциалы, и решения КМ могут давать такую ​​плотность энергетических уровней, что образуются полосы, в которых электроны являются общими для всех атомов/молекул твердого тела, как в металлах и полупроводниках.

Везде, где существуют потенциалы, электроны с энергией ниже потенциала (потенциалы идут от 0 до отрицательных значений энергии связи) в принципе будут находиться на квантованных энергетических уровнях, хотя плотность уровней вместе с принципом неопределенности Гейзенберга может фактически отображать континуум. . Для свободных электронов (с энергией выше нуля по отношению к потенциалу) квантование отсутствует.

Отличие близости в твердых телах от расстояний в газах заключается в том, что в газах атомы/молекулы свободны, тогда как в твердых телах и жидкостях существуют коллективные потенциалы связи, которые генерируют больше энергетических уровней, чем атомно-молекулярные.

Если энергетические уровни непрерывны (в заданном интервале энергий), то частица (или система) в принципе может иметь любую энергию в этом интервале. Если они квантуются, скажем,$E_1,E_2...$, то частица (или система) может иметь только одну из этих энергий, а не что-то среднее между ними.

Связанные состояния имеют квантованную энергию, а несвязанные состояния имеют непрерывную энергию. Это можно понять, подумав, например, об одномерной бесконечной квадратной яме. Вы можете полуклассически представить себе частицу, «прыгающую туда-сюда» между стенками квадратного потенциала. На большинстве длин волн отраженная частица будет интерферировать сама с собой, и после многих перемещений вперед и назад волновая функция везде усреднится до нуля, а это означает, что решения нет. Только на определенных длинах волн (или, что то же самое, частотах), где интерференция является конструктивной, средняя волновая функция отлична от нуля, и эти конкретные частоты составляют дискретный энергетический спектр связанного состояния.

Для несвязанных состояний нет «отскока туда-сюда», поэтому самоинтерференция не устраняет какие-либо частоты, что приводит к непрерывному спектру. Как указывает Трэвис в своем ответе, и газы, и твердые тела имеют дискретные уровни энергии (если пренебречь кинетической энергией газа), поскольку оба являются связанными состояниями. Однако твердое тело имеет столь высокую плотность состояний, что его можно считать практически непрерывным.

Рассмотрим гамильтониан, трансляционно инвариантный. Например,

$H = \frac{ \hat{p}^2}{2m} = - \frac{1}{2m} \frac{ \partial^2}{\partial x^2}$.

Возможны и другие варианты (любой гамильтониан, не содержащий оператора$\hat{x}$например). Такой гамильтониан образует квантовые состояния с определенным импульсом, т. е. являются собственными состояниями оператора$\hat{p} = -i \frac{ \partial}{\partial x}$. Можно сказать, что квантовые состояния гамильтониана представляют свободное движение в пространстве.

Важнейшим свойством этих состояний является то, что они бесконечны по протяженности, т. е. не поддаются нормализации. Они делокализованы. При этом энергетический спектр непрерывен.

Теперь рассмотрим гамильтониан, который состоит из трансляционно-инвариантной части плюс потенциальный член$V(x)$которая обращается в нуль на пространственной бесконечности. Для такого гамильтониана всегда будут существовать решения, свободные вдали от потенциала. Эти состояния называются состояниями рассеяния: они имеют непрерывный спектр энергий. Эти состояния рассеяния не являются нормируемыми.

Однако тот же гамильтониан может также образовывать связанные состояния. Связанное состояние затухает экспоненциально вне потенциальной области и является нормируемым. Связанные состояния могут существовать только при дискретных энергиях — причина в том, что они являются стоячими волнами, а стоячие волны должны удовлетворять условию интерференции, дискретизирующему спектр. Грубо говоря, стоячая волна может образоваться только тогда, когда внутри орбиты частицы укладывается целое число длин волн. Но, конечно, реальная история намного сложнее. Существует теорема, которая гласит, что в одном измерении, пока потенциал изменяется медленно по сравнению с длиной волны частицы, у вас есть связанные состояния при энергиях, при которых классическое действие

$\oint{pdx} = 2\pi(n + \frac{1}{2})$.

(Это называется квантованием Бора-Зоммерфельда). Целое число$n$соответствует количеству узлов в волновой функции.

Поскольку связанные состояния затухают экспоненциально, энергия должна быть ниже континуума — это означает, что если ваш потенциал стремится к нулю на бесконечности, энергия отрицательна. Чтобы убедиться в этом, применим оператор Гамильтона$(- \frac{1}{2m} \frac{ \partial^2}{\partial x^2} + V(x) )\psi = E \psi$и обратите внимание, что в районе, где$V(x) \rightarrow 0$, вторым членом гамильтониана можно пренебречь. Воздействие на любую действительную экспоненту со второй производной просто дает вам ту же функцию, умноженную на положительный коэффициент, поэтому общий знак отрицательный. Для энергий$E < 0$, у вас могут быть дискретные связанные состояния, если ваш потенциал их поддерживает. Для энергий$E > 0$, у вас есть континуум состояний рассеяния.

А как насчет твердого тела? Твердое тело состоит из довольно сложного потенциала$V(x)$который обращается в нуль вне твердого тела. Таким образом, ваша волновая функция заключена в коробку размером с ваше твердое тело. Если ваша волновая функция экспоненциально затухает вне твердого тела, то она соответствует квантованным энергиям$E_n$. Рассчитаем энергетический спектр одномерной частицы в ящике, скажем, размером 1 см. Вы получите спектр

$E_n = \frac{ k_n^2}{2m}$где$k_n = \frac{ \pi n}{L}$.

Разница между двумя энергетическими уровнями$E_n$и$E_{n+1}$затем$E_{n+1}- E_n = \frac{ \pi^2}{2mL^2} ( (n+1)^2 - n^2) = \frac{\pi^2}{2mL^2} (2n+1)$. Если вы затем накладываете периодический потенциал, например, есть ионная решетка с ионами, расположенными на расстоянии$a$кроме того, максимальное значение$n$будет

$N= \frac{L}{a}$.

Обратите внимание, что для реального твердого тела$a$обычно составляет несколько ангстрем, т.е.$10^{-8}$см. Таким образом$N \approx 10^8$, что является огромным числом. Расстояние между энергетическими уровнями не более$\frac{ \pi^2}{2mL^2} ( \frac{ 2L}{a}) = \frac{ \pi^2}{mLa}$. При этом максимальная энергия$E_{max} = \frac{k_N^2}{2m} = \frac{\pi^2}{2m} \frac{L^2}{a^2}$. Квантовые состояния образуют дискретный набор точек с энергией между$0$и$E_{max}$.$E_{max}$называется полосой пропускания. Отношение расщепления к пропускной способности равно

$\frac{2a}{L} \approx 10^{-8}$

Несмотря на дискретный спектр, расстояние по энергии между состояниями настолько мало, что в основном образует континуум.