Магнитное поле магнитного монополя

Для каждого$r>0$, дивергенция магнитного поля монополя равна нулю, как вы уже проверили;

$$\begin{align} \nabla\cdot\mathbf B(\mathbf x) = 0, \qquad \text{for all $\mathbf x\neq \mathbf 0$}. \end{align}$$

Но что, если мы также хотим найти дивергенцию этого поля в начале координат? В конце концов, именно там находится точечный источник. Мы могли бы ожидать, что в каком-то смысле дивергенция там должна быть отличной от нуля, чтобы отражать тот факт, что там находится точечный источник. Проблема в том, что магнитное поле там сингулярно, и поэтому стандартная дивергенция там не определена.

Однако в электродинамике мы обходим это, интерпретируя поля не просто как функции$\mathbf E,\mathbf B:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$, а именно обычные векторные поля в трех измерениях, но как распределения (также известные как обобщенные функции). Как оказалось, когда мы делаем это, есть смысл, в котором магнитное поле, которое вы записали, имеет ненулевую дивергенцию в начале координат (на самом деле дивергенция там «бесконечна»). Я оставлю это на вас, чтобы исследовать детали, но кульминация в том, что вам нужно что-то, называемое производной по распределению , чтобы выполнить вычисления строго. Физики часто вычисляют производную монополя по распределению, «регулируя» сингулярность в начале координат, но это не обязательно. Какой бы метод вы ни использовали, результат, который вы ищете,

$$\begin{align} \nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} = 4\pi\delta^{(3)}(\mathbf x) \end{align}$$ где $\delta^{(3)}$обозначает дельта-распределение в трех евклидовых измерениях. Применяя это к полю магнитного монополя, мы видим, что его расходимость соответствует плотности магнитного заряда, похожей на дельта-распределение; именно такое поведение ожидается от монополии.

Дополнение. Поскольку пользователь PhysiXxx опубликовал процедуру подтверждения идентичности, о которой я утверждаю выше, с помощью процедуры регуляризации, на которую я ссылался, я полагаю, что мог бы также показать, как вы доказываете идентичность, когда она интерпретируется в смысле распределений.

Распределение — это линейный функционал, который действует на так называемые тестовые функции и выводит действительные числа. Для просмотра достаточно корректной функции$f:\mathbb R^3\to\mathbb R$в качестве распределения нам нужно связать линейную функцию$T_f$к этому. Стандартный способ сделать это — определить

$$\begin{align} T_f[\phi] = \int _{\mathbb R^3} d^3x\, f(\mathbf x) \phi(\mathbf x). \end{align}$$ Дельта-распределение с центром в точке $\mathbf a\in\mathbb R^3$нельзя описать как распределение, связанное с функцией $f$таким образом, вместо этого он определяется как $$\begin{align} \delta_{\mathbf a}^{(3)}[\phi] = \phi(\mathbf a) \end{align}$$ Физики часто записывают это как $$\begin{align} \delta_{\mathbf a}^{(3)}[\phi] = \int_{\mathbb R^3}d^3 x\, \delta^{(3)}(\mathbf x - \mathbf a)\phi(\mathbf x) \end{align}$$ как будто есть функция, которая генерирует дельта-распределение, даже если ее нет, потому что это упрощает формальные манипуляции . Теперь рассмотрим функцию $$\begin{align} h(\mathbf x) = \nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^2} \end{align}$$ Я утверждаю, что если мы используем выражение $T_h$с которым можно связать дистрибутив $h$, затем, $T_h = -4\pi \delta_{\mathbf 0}$. Чтобы доказать это, достаточно показать, что $T_h[\phi] = -4\pi\phi(\mathbf 0)$для всех тестовых функций $\phi$. С этой целью отметим, что $$\begin{align} T_h[\phi] &= \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \left(\nabla\cdot\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3}\right) \phi(\mathbf x) \\ &= \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \nabla\cdot\left(\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} \phi(\mathbf x)\right) - \int_{\mathbb R^3} d^3 x\, \frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3}\cdot \nabla\phi(\mathbf x) \end{align}$$ Первый интеграл исчезает, потому что по теореме Стокса (также известной как теорема о дивергенции в 3D) это граничный член, но в этом случае граница находится на бесконечности, и предполагается, что то, для чего мы берем дивергенцию, быстро исчезает. на бесконечности (это часть определения тестовых функций). Для второго интеграла мы используем сферические координаты. В сферических координатах можно написать $$\begin{align} d^3 x = r^2\sin\theta dr\,d\theta\,d\phi, \qquad \frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3} = \frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}, \qquad (\nabla\phi)_r = \ \frac{\partial\phi}{\partial r} \end{align}$$ Сочетание этих наблюдений с некоторыми алгебраическими упрощениями дает желаемый результат: $$\begin{align} T_h[\phi] &= - \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\pi d\theta\int_0^\infty dr \frac{\partial\phi}{\partial r}(r,\theta,\phi) = -4\pi \phi(\mathbf 0) \end{align}$$

На последнем шаге мы использовали основную теорему исчисления, а именно тот факт, что$\phi$исчезает как$r\to\infty$и тот факт, что когда$r\to 0$, среднее значение функции по сфере радиуса$r$становится его значением в начале координат, а именно

$$\begin{align} \lim_{r\to 0} \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\phi}d\theta\int_0^\pi d\phi\, \phi(r,\theta, \phi) = \phi(\mathbf 0) \end{align}$$

Ответ joshpysics хорош. Я лишь хочу рассказать о некоторых деталях.

Давайте поле

$$\mathbf A = g\frac{\mathbf r}{|\mathbf r|^{3}}. \qquad (.1)$$ Он имеет сингулярность в нуле. Мы можем устранить его путем модификации $(.1)$к
$$\mathbf A = g\frac{\mathbf r}{|\mathbf r|^{3}} \to g\frac{\mathbf r}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{3}{2}}}.$$ Тогда мы можем взять производную в каждой точке поля. Взяв производную, мы можем установить $a$до нуля. Например, $$(\nabla \cdot \mathbf A ) = \frac{3g}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{3}{2}}} - \frac{3gr^{2}}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} = \frac{3ga^{2}}{(r^{2} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} = 4 \pi g \delta_{a}(\mathbf r) = 4 \pi \rho_{a}(\mathbf r),$$ где $$\delta_{a}(\mathbf r) = \frac{3}{4 \pi}\frac{a^{2}}{\left( r^{2} + a^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}$$ обладают свойствами дельты Дирака: когда $a$устанавливается в ноль, $$\lim_{r \to 0}\delta_{a}(\mathbf r ) = \infty, \quad \lim_{r \to r_{0} \neq 0}\delta_{a}(\mathbf r ) = 0,$$ и $$\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta_{a}(\mathbf r)d^{3}\mathbf r = 1,$$ что легко проверяется.

Эта процедура называется регуляризацией. Он удобен для описания поля точечного заряда.

Еще один интересный факт. Мы можем вывести уравнения Максвелла, используя только закон Кулона, принцип суперпозиции и специальную теорию относительности (которые можно сформулировать, используя некоторые простые постулаты (постулаты однородного пространства-времени, изотропного пространства, принцип относительности и принцип причинности)).

Подход к распределению, хорошо описанный joshphysics и PhysiXxx, полностью отвечает на ваш вопрос и показывает, почему ваше доказательство не работает, но есть и другой способ аргументировать правильную часть вашего доказательства. Это, конечно, в конечном счете математически эквивалентно. Просто вычислите поток через сферическую оболочку$\mathcal{S}$сосредоточено на происхождении; из симметрии задачи получаем:

$$\oint_\mathcal{S} \mathbf{B} \cdot \hat{\mathbf{r}} \, \mathrm{d} S = 4\,\pi\,R^2\,g\frac{R}{R^3}= 4\,\pi\,g$$

Это магнитный заряд внутри оболочки радиусом$R$. Теперь ваше доказательство, как указано в другом месте, не работает в начале координат, но работает везде . Таким образом, это говорит вам, согласно теореме о дивергенции, что внутри любой замкнутой ориентируемой поверхности, не содержащей начала координат, нет заряда, а также по теореме о дивергенции приведенный выше результат справедлив для любой поверхности того же гомотопического класса (относительно$\mathbb{R}^3 \sim {0}$т.е. евклидово 3-пространство с удаленным началом) как сферическая оболочка: иначе говоря: любая поверхность, которая может быть получена как непрерывная деформация сферы$\mathcal{S}$которая не проходит через начало координат ни одной части поверхности. Следовательно, заряд должен полностью содержаться внутри любой сферической оболочки радиуса$\epsilon > 0$, как бы мала$\epsilon$может быть . Говоря повседневными словами, заряд полностью сосредоточен в начале координат.