Максимальное время вблизи черной дыры

Наблюдатель может проводить бесконечное время в$r=4GM$если он падает из бесконечности с точным угловым моментом$\ell = \pm 4GM$. (Единицы$c=1$).

Рассмотрим запуск наблюдателя из бесконечности так, чтобы 1) он имел бесконечно малую скорость 2) он имел конечное количество$\ell$углового момента. Мы утверждаем, что можем выбирать$\ell$так что наблюдатель попадает на круговую орбиту.

От

$$V_{eff}(r) = - \frac{GM}{r} + \frac{\ell^2}{2r^2}- \frac{GM\ell^2}{r^3}$$

и уравнение энергии, которое вы упомянули

$$\frac12 \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+ V_{eff}(r) = \mathcal{E}= \mbox{const}$$

Мы видим, что$\mathcal{E} = 0$потому что изначально мы начинаем с пространственной бесконечности с бесконечно малой радиальной скоростью.

Круговая орбита радиусом$r_c$будет

$$V'_{eff}(r_c)=0$$ $$\left.\frac{dr}{d\tau}\right|_{r_c} = 0$$ а последнее уравнение вместе с уравнением энергии говорит нам $$V_{eff}(r_c) = 0.$$ Пара уравнений $$\frac{3 G \ell^2 M}{r^4}+\frac{G M}{r^2}-\frac{\ell^2}{r^3}=0$$ $$-\frac{G \ell^2 M}{r^3}-\frac{G M}{r}+\frac{\ell^2}{2 r^2}=0$$

что равносильно решению пары квадратичных уравнений. Вы можете проверить, что единственными решениями являются

$$\ell = \pm 4GM,\quad r=4GM.$$

Мало того, что можно,$r=4GM$— единственная возможная орбита с заданными нами начальными условиями. Теперь, может быть, вы можете обобщить до некоторого конечного значения начальной радиальной скорости, чтобы увидеть, возможна ли более близкая орбита.

Обобщая ответ Двагга: для любого радиуса$3M<r\leq4M$(используя агрегаты с$G=c=1$), существует орбита, идущая из бесконечности по асимптоте к круговой орбите. Эти орбиты известны как гомоклинические орбиты. Эти орбиты имеют ту же энергию и угловой момент, что и (нестабильная) круговая орбита, к которой они асимптотичны, что можно найти, решив уравнения

$$V'_{eff}(r)=0$$ и $$V_{eff}(r)=\mathcal{E}.$$

Это дает

$$\mathcal{E} = \frac{(r-2M)}{\sqrt{r(r-3M)}}$$ и $$\ell = \pm\frac{Mr}{\sqrt{M(r-3M)}}.$$

Эти орбиты проводят бесконечное количество времени ниже$r=4M$. Если, как вы указали, вы хотите, чтобы орбита опускалась ниже$r=4M$и возвращается в бесконечность, то можно взять энергию как в формуле, а момент импульса чуть больше. Когда вы позволяете угловому моменту приближаться к гомоклиническому предельному значению, время, проведенное ниже$r=4M$приблизится к бесконечности.