Ментальная картина взаимодействий в QFT

Мне также нравится иметь «ментальные картинки» (как вы их называете) для абстрактной концепции :)

Я попытаюсь поделиться с вами картиной, которую я имею в виду, когда делаю расчеты QFT. Пожалуйста, проигнорируйте этот ответ, если он вам не поможет.

Тот, что у меня есть для взаимодействующей КТП, вообще не включает частицы. Я представляю квантовые поля как флуктуирующие поля в пространстве-времени, которые мы интегрируем в интеграл по путям. Вопрос, на который мы хотели бы ответить в этом подходе, заключается в том, что при заданном функционале полей, скажем, произведении полей в разных точках пространства-времени, какова ожидаемая ценность продукта? Другими словами, каково значение интеграла по путям

Меры могут быть выбраны так, что

что приводит к исчезновению бесконечности в нормировочном множителе.

Я знаю, что вы, вероятно, ищете что-то с меньшим количеством математики. Но я хотел бы попытаться убедить вас, что эта картинка невероятно полезна и довольно проста в работе.

На этой картинке поле как бы "исчезает", что означает следующее. Действительные предсказания теории, вещи, которые мы хотели бы вычислить, не зависят от$\phi(x)$совсем! Вместо этого они зависят от$k$точки пространства-времени. Флуктуирующее поле$\phi(x)$полезен для получения результатов, но не вводит их явно.

1. Пропагатор свободной теории и теорема Вика следуют из интеграла по путям почти мгновенно. В качестве примера формального доказательства рассмотрим это. Я хотел бы рассмотреть ожидание

   $$\left< \phi(y) \right> = \int {\mathcal D}\phi e^{i S[\phi]} \phi(y).$$ Что, если я изменю фиктивную переменную интегрирования постоянным сдвигом$\delta \phi(x)$? Мера формально инвариантна, и значение интеграла не может измениться: $$0 = \delta \left< \phi(y) \right> = \int {\mathcal D}\phi \left( e^{i S[\phi]} i \delta S[\phi] \cdot \phi(y) + e^{i S[\phi]} \cdot \delta \phi(y) \right) = \left< i \delta S[\phi] \cdot \phi(y) + \delta \phi(y) \right>$$ $$= \int d^4 x \; \delta \phi(x) \; \left< i \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(x)} \phi(y) + \delta^{(4)} (x - y) \right>.$$ Для свободной теории$\delta S / \delta \phi(x) = \hat{\Theta} \phi(x)$где$\hat{\Theta}$— некоторый линейный дифференциальный оператор, порождающий уравнения движения, поэтому мы имеем $$\hat{\Theta}_x \left< \phi(x) \phi(y) \right> = i \delta^{(4)} (x - y),$$ что является в точности ожидаемым результатом: пропагатор свободной теории является функцией Грина дифференциального оператора, который порождает уравнения движения.

2. Правила Фейнмана следуют из интеграла по путям почти мгновенно. Вы просто расширяете экспоненциальное значение члена взаимодействия в действии. Отныне мы можем думать о диаграммах Фейнмана как о членах ряда, которые аппроксимируют континуальный интеграл.

3. Регуляризацию можно интерпретировать как модификацию меры интеграла по траекториям${\mathcal D}\phi$. Это довольно удобно, потому что у вас все еще есть приведенное выше уравнение для конечной регуляризованной теории.

4. Вы можете легко вывести ковариантные правила Фейнмана даже для калибровочных теорий с помощью трюка Фаддеева-Попова.

5. Тождества Уорда легко вывести. Вывод в основном похож на вывод из пункта 1, но он использует фиктивную переменную интегрирования, перемаркированную посредством преобразований симметрии, вместо постоянного сдвига на$\delta \phi(x)$.

6. Аномалии можно интерпретировать как неинвариантность меры интеграла по путям относительно преобразований симметрии. Аномальное тождество Уорда может быть получено посредством регуляризации меры.

7. Подход явно лоренц-инвариантен и фактически явно инвариантен относительно всех преобразований симметрии. Регуляризации могут нарушать это свойство, но я бы сказал, что нарушение при регуляризации и ожидаемое повторное появление после снятия регуляризации с лоренц-инвариантности по-прежнему намного проще в подходе интеграла по траекториям.

Конечно, у этой картины есть недостатки. Несмотря на то, что чрезвычайно просто и интуитивно мыслить в терминах флуктуирующего поля, по которому мы интегрируем, это не дает полной картины. Например, пространство асимптотических состояний (пространство Фока) должно быть получено независимо, и следует использовать формулу редукции, чтобы выразить амплитуды переходов между асимптотическими состояниями через математическое ожидание интеграла по путям некоторого функционала.