Мог ли (старый) LIGO обнаружить GW150914?

Чтобы расширить ответ HDE, первоначальный LIGO действительно не обнаружил бы GW150914, но это не так просто, поскольку пиковая деформация находится ниже кривой на графике чувствительности: время интегрирования также имеет значение.

Эти сюжеты могут ввести в заблуждение; кривые, которые они показывают , не представляют минимально обнаруживаемую деформацию. Действительно, единицы по оси Y этих графиков равны$\mathrm{Hz}^{-1/2}$, а деформация ГВ безразмерна, так что сравнивать их на самом деле нельзя! Вполне возможно обнаружить сигнал с пиком значительно ниже кривой шума, если он достаточно долго находится в полосе пропускания.

Кривые, которые вы видите, описывающие чувствительность детектора LIGO, условно показывают амплитудную спектральную плотность шума детектора. При этом порог обнаружения определяется отношением сигнал-шум (SNR) при согласованной (винеровской) фильтрации . Предполагая, что мы знаем форму сигнала$h$заранее (см. предостережения ниже), это определяется в терминах взвешенного по шуму внутреннего продукта$h$с собой:

$$\mathrm{SNR}^2 = \left<h,h\right> \equiv \int_0^\infty \frac{4|\tilde{h}(f)|^2}{S_n(f)}\,\mathrm{d}f$$ куда$S_n(f)$— спектральная плотность мощности шума (т. е. квадрат того, что показано на графиках чувствительности). Таким образом, SNR зависит от спектрального состава сигнала и его перекрытия с полосой пропускания детектора.

Если вы представляете это во временной области (теорема Парсеваля), то (квадрат) SNR на самом деле накапливается пропорционально количеству циклов, которые сигнал проводит в полосе пропускания. Для монохроматического источника это пропорционально времени интегрирования. Например, если$\tilde{h}(f) = \delta(f-f_0)h_0$и без потерь СПМ шума есть постоянная величина$S_n(f_0)$, то ОСШ определяется как:

$$\mathrm{SNR}^2 = \frac{2}{S_n}\int_{-\infty}^\infty|\tilde{h}(f)|^2\,\mathrm{d}f = \frac{2}{S_n}\int_{-\infty}^\infty|h(t)|^2\,\mathrm{d}t$$ Следовательно, поскольку$|h(t)| = h_0$, для конечного окна наблюдения$T$, ОСШ масштабируется с$\sqrt{T}$: $$\mathrm{SNR} = \sqrt{\frac{2T}{S_n}}h_0$$

Итак, аппроксимируем GW150914 монохроматическим источником. Судя по графикам на бумаге для обнаружения, предположим, что она имеет среднюю частоту$f_0 \approx 60 \ \mathrm{Hz}$, амплитуда$h_0\approx 5\times10^{-22}$, а продолжительность$T \approx 0.2\ \mathrm{s}$. Затем, считывая штамм ASD$\sqrt{S_n(f_0)} \approx 10^{-22}$для начального LIGO мы получили бы SNR около 3, что не соответствует стандартному порогу обнаружения 8 (см. также предостережения ниже).

В этой статье гораздо более подробно обсуждаются кривые чувствительности детектора ; это стоит прочитать! Более полезной величиной, описанной в этой статье, является характеристическая деформация , которая пытается объяснить эволюцию частоты инспирального сигнала, такого как GW150914, чтобы облегчить сравнение между чувствительностью детектора и амплитудой деформации.

---

Предостережения: на практике это сложнее, чем модель согласованного фильтра, поскольку шум детектора раздражающе нестационарен и не является гауссовским. Существуют более сложные алгоритмы поиска, в которых используются такие вещи, как запрет на качество сигнала и$\chi^2$дискриминанты, которые отбрасывают ложные отклики согласованного фильтра. Существуют также алгоритмы поиска, которые не требуют априорного знания формы сигнала и могут обнаруживать несмоделированные всплески. На самом деле именно такой общий поиск обнаружил GW150914; ссылки доступны в документе обнаружения .

Также обратите внимание, что SNR, определенное выше, является оптимальным SNR , который вы получите, если:

1. вы фильтруете поток данных именно тем сигналом, который ищете, и
2. шумовая реализация равна нулю.

Поскольку среднее значение шума равно нулю, число 2 выше эквивалентно принятию ожидаемого отношения сигнал/шум по всем реализациям шума.

На практике мы не знаем точный сигнал априори , и при приближении теряется некоторое отношение сигнал/шум. Для сигнала-кандидата$u$, тогда ожидаемое отношение сигнал-шум (по всем реализациям шума) определяется выражением

$$\mathrm{SNR} = \frac{\left<u,h\right>}{\|u\|}$$

У меня есть прямая цитата с сайта :

Событие не было бы зарегистрировано детекторами первого поколения LIGO; тот факт, что он появился с поразительной четкостью как в L1, так и в H1, указывает на скачок в производительности детектора, который произвела программа Advanced LIGO.

Это была проблема чувствительности: на большинстве частот Advanced LIGO более чувствителен к напряжению, чем LIGO , в 10 раз .

Hild (2012) дает обзор детекторов первого и второго поколения, включая этот график:

Обнаруженная волна имела пиковую деформацию$\thicksim 10^{-21} ~\mathrm{1/\sqrt{\textrm{Hz}}}$и был обнаружен на частотах между$35$а также$250~\textrm{Hz}.$Часть этого попадает в исходный диапазон чувствительности LIGO. Однако, как показано на Рисунке 3 документа об обнаружении Advanced LIGO , большинство из них ниже этого уровня.

Что касается шансов обнаружения, по более ранним оценкам , Advanced LIGO должен иметь возможность наблюдать$\thicksim 40$"вдохновляющие события" нейтронной звезды и$\thicksim 30$бинарные события черной дыры одного типа. Частично это связано с уменьшением шума, что облегчает наблюдение за большими областями. Группа говорит, что частота обнаружения событий увеличится на 3000 после повышения чувствительности.

Несмотря на мои надежды, похоже, старый LIGO не обнаружил бы GW150914. Вздох...

Из объявления об открытии GW150914 я создал факсимиле измеренного сигнала деформации:

Из этой статьи, а также из резюме запуска 6 оригинального LIGO в 2009–2010 годах я оцифровал амплитудные спектральные плотности двух:

На основе этих входных данных я рассчитал характеристические кривые деформации и шума:

Интегрируя их в очень полезную ссылку , указанную Уиллом Вусденом, я рассчитываю следующие результаты для отношения сигнал-шум.$\rho$для согласованного фильтра:

$$\begin{equation*} \begin{array}{lcccc} \text{detector} & \rho & \chi_r^2 & \hat{\rho} & \hat{\rho_c} \\ \text{aLIGO} & 18.73 & 1.44 & 16.69 & 23.6 \\ \text{LIGO run 6} & 4.88 & 1.44 & 4.35 & 6.2 \end{array} \end{equation*}$$

Здесь:

• $\rho$– расчетное отношение сигнал/шум для детектора.
• в$\chi_r^2$статистика измеряет, насколько близко сигнал соответствует ожидаемому шаблону формы сигнала. Это значение не сообщалось, что я мог видеть; Я выбрал его, чтобы получить правильный окончательный результат для aLIGO, а затем использовал то же значение для LIGO Run 6.
• $\hat{\rho}$наказывает$\rho$исходя из стоимости$\chi_r^2$.
• $\hat{\rho}_c$учитывает сигнал, наблюдаемый обоими детекторами LIGO: два отношения сигнал-шум складываются в квадратурах (так что здесь значение умножается на$\sqrt{2}$.)

Поскольку отношение сигнал/шум в Run 6$\rho < 8$, было бы очень трудно заявить об обнаружении: в этом обзоре прогона 6 по поиску сигналов спирали/слияния массивных черных дыр на рис. 2 показано, что сигналы с такими значениями$\rho$а также$\chi_r^2$был бы похоронен в шумовых событиях.

Любопытно, что тот же обзор включает рисунок 1, на котором показано, что событие с полной солнечной массой 60 может быть обнаружено на расстоянии около 470 Мпк (с благоприятной ориентацией), что включает в себя большую часть зарегистрированного диапазона расстояний$410_{-180}^{+160}$Мпк Я не могу объяснить несоответствие.