Могу ли я вычислить массу монеты по звуку ее падения?

Итак, я решил попробовать. Я использовал Audacity для записи примерно 5 секунд звука, возникающего, когда я бросал пенни, никель, десять центов и четвертак на стол, каждый раз по 10 раз. Затем я вычислил спектральную плотность мощности звука и получил следующие результаты:

Я также записал 5 секунд, когда я не уронил монету 10 раз, чтобы получить фоновое измерение. На графике я нанес все 50 трасс друг на друга, причем каждая линия полупрозрачна.

Стоит отметить несколько особенностей. Во-первых, есть несколько очень отчетливых пиков, а именно четвертные пики 16 кГц и 9 кГц, а также никелевый пик 14 кГц. Но не похоже, что частоты подчиняются какому-либо простому соотношению, такому как$\propto m^{-1/3}$Флорис предлагает масштабирование результата по порядку величины.

Но у меня была другая идея. По большей части мы могли бы сделать грубое предположение, что полная энергия, излучаемая в виде звука, будет фиксированной долей полной энергии столкновения. Точные детали дроби, излучаемой в виде звука, несомненно, будут зависеть от множества переменных, находящихся вне нашего контроля в деталях, но по большей части для набора стандартных монет (все они состоят из разных, похожих металлов) и заданной таблицы. , я ожидаю, что эта доля будет довольно постоянной.

Поскольку энергия монеты, если она падает с фиксированной высоты, пропорциональна ее массе, я ожидаю, что энергия звука также будет пропорциональна ее массе. Итак, вот что я сделал. Я интегрировал спектральные плотности мощности и привел их в линейную зависимость от массы. Я получил:

Я выполнил байесовскую подгонку, чтобы получить оценку ошибок. Слева я рисую совместное апостериорное распределение вероятностей для$\alpha$параметр перехвата и$\beta$параметр наклона, а справа я строю линию наилучшего соответствия, а также$2\sigma$контуры вокруг него с обеих сторон. Для своих приоров я взял приоры Джеффри.

Модель работает довольно хорошо, поэтому, если вы знаете высоту, с которой падают монеты, и уже выполнили калибровку для конкретного стола и условий шума в рассматриваемой комнате, из записи звука, издаваемого монетой, может показаться, что когда она падала, вы могли ожидать, что сможете оценить массу монеты с точностью до 2 граммов.

Для конкретики я использовал следующие монеты:

• Пенни: 1970 г.
• Никель: 1999 г.
• Дайм: 1991 г.
• Квартал: 1995 г.

Изменить: свернуть масштабирование

Следуя за Флорисом, мы можем проверить, насколько точна модель.$f \sim E^{1/2} m^{-1/3} \eta^{-1}$является. Мы будем использовать предоставленные данные и построим график наблюдаемой плотности мощности в зависимости от масштабированной частоты.$f m^{1/3} \eta E^{-1/2}$. Мы получаем:

что выглядит неплохо. Чтобы немного лучше увидеть, насколько хорошо они перекрываются, я воспроизведу график, но введу смещение между каждой из монет:

Очень впечатляет, насколько хорошо совпадают спектры. Что касается вторичных пиков для четверти и никеля, см. запоздалую мысль Флориса.

Посадочный материал

Кто-то в комментариях спросил, что произойдет, если мы изменим то, на что падают монеты. Итак, я сделал несколько бросков, когда вместо того, чтобы падать прямо на стол, монеты падали на лист бумаги на столе. Если вы спросите меня, эти два случая звучали очень по-разному, но их спектры очень похожи. Это было за четверть. Вы заметите, что бумажные следы заметно ниже столовых.

Материалы для монет

Фактический состав монеты, кажется, имеет довольно большое значение. Далее я пробовал три разные копейки, каждая выпадала по 5 раз. Медный пенни 1970-х годов, цинковый пенни 2013 года и бронзовый пенни 1956 года.

Крупные монеты

Надеясь лучше разрешить вторую гармонику, я попробовал другие более крупные монеты:

Обратите внимание, что у президентского доллара хорошо разрешена вторая гармоника. Заметьте также, что доллары Susan B не только выглядят и ощущаются как четвертак, но и звучат так же.

Повторяемость

Наконец, я беспокоился о том, насколько повторяемым было все это. Не могли бы вы на самом деле надеяться измерить некоторые из этих спектров, а затем, по звуку падающей монеты, определить, какие монеты присутствовали, или, возможно, как в спектроскопии, определить соотношение монет, присутствующих при падении. Последнее, что я пробовал, это бросать сразу 10 пенни и сразу 10 пятицентовиков, чтобы посмотреть, насколько хорошо разрешаются спектры.

Хотя будет справедливо сказать, что мы все еще можем хорошо разрешить пенни-пик, кажется, что в реальном мире у пятицентовиков есть много вариаций. Подробнее о пятицентовиках см. во втором ответе Флориса.

Если у вас есть размеры и материал объекта, вы можете вычислить как массу, так и нормальные моды вибрации. Одной массы недостаточно — большая бумажная «монета» будет иметь другую основную частоту, чем маленькая вольфрамовая сфера.

Краткое изложение всего, что приведено ниже - результат нескольких правок, включая приятное взаимодействие с другим ответом от alemi:

Связь между основной частотой «пинга» монеты и ее массой определяется (приблизительно) выражением

$$m \propto \frac{t\sqrt{E}}{f^{1/3}D}$$ куда

$E$= модуль Юнга
$t$= толщина
$m$= масса монеты
$D$= диаметр монеты
$f$= основная частота

Вот подробности того, как я туда попал...

Если предположить, что все «монеты» имеют одинаковое соотношение сторон (отношение диаметра к толщине) и сделаны из одного и того же материала, то действительно можно вычислить соотношение между основной частотой и массой. Из размерного анализа, если мы предположим, что частота является функцией

• $\eta$: соотношение сторон (безразмерное: изначально предполагалось постоянным для всех, игнорируется)
• $D$: диаметр ($\text{m}$)
• $\rho$плотность ($\text{kg}/\text{m}^3$)
• $E$: модуль ($\text{kg}/\text{m s}^2$)

Тогда комбинация вышеперечисленного, которая дает нам единицы$1/s$является

$$f = \text{const} \cdot \frac{1}{D} \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

В сочетании с массой объекта, которая пропорциональна$\rho D^3$, тогда предположим$\rho$постоянна (поэтому мы можем исключить ее из уравнения), мы получаем

$$f = \text{const} \cdot m^{-1/3}E^{1/2}\\ m = \text{const} \cdot E^{3/2}f^{-3}$$

Другими словами - масса уменьшается в третьей степени частоты для монет из того же материала и соотношения сторон.

Но монеты США работают не так. С сайта монетного двора США я извлек следующее:

                                               Aspect
coin      mass  diameter thickness  material    ratio
penny    2.500    19.05     1.52       Zn*      12.53
nickel   5.000    21.21     1.95      Cu-Ni     10.88
dime     2.268    17.91     1.35      Cu-Ni     13.27
quarter  5.670    24.26     1.75      Cu-Ni     13.86
old 1c.  3.11     19.05     1.52     Bronze.    12.53
* copper plated...

Таким образом, материал не всегда один и тот же, равно как и соотношение сторон. Это немного затруднит доказательство или опровержение родства.

Тем не менее - давайте попробуем. Из экспериментальных данных ( ответ @alemi ) я прочитал основные частоты следующим образом:

penny    12.6
nickel   12.4
dime     12.8
quarter   9.2

Теперь интересны две монеты — четвертак и десятицентовик, так как они имеют одинаковый материал и наиболее похожее соотношение сторон (13,3 против 13,9, так что разница всего 5%). Исходя из отношения их масс (2,500), мы ожидаем, что отношение частот будет равно 0,74 ($2.5^{-1/3}$). И наблюдаемое соотношение составляет 0,72. Это действительно очень близко...

Иными словами, если бы вы знали частоты десятицентовой монеты и четвертака и вам нужно было бы оценить массу четвертака по десятицентовой монете, вы бы получили

$$\begin{align}\\ m &= 2.268 * \left(\frac{12.8}{9.2}\right)^3\\ &= 6.11\end{align}$$

что является ошибкой около 7% или менее 0,5 г. Я думаю, что это впечатляет, учитывая разницу в 2,5 раза между десятицентовиком и четвертаком.

Воодушевленный этим результатом, я решил посмотреть, смогу ли я договориться о четырех монетах, учитывая их разное соотношение сторон и материал. Поскольку и бронза, и сплавы Cu-Ni имеют широкий диапазон модуля Юнга, мне пришлось немного угадать (все значения в ГПа):

material  range (GPa)  value (GPa)
bronze      96 - 120      110
Cu-Ni      120 - 156      120

Далее мне нужно было разобраться с соотношением сторон. Подумав об этом, я пришел к выводу, что большее соотношение сторон (более тонкая монета) будет иметь более низкую частоту, поэтому я решил посмотреть, что произойдет, если я сделаю частоту зависимой от$1/\eta$. Это привело к следующей формуле «ожидаемой частоты»:

$$\text{expected} = \frac{\sqrt{E}}{m^{1/3}\eta}$$

Вычислив это с новой массой пенни (3,11 г), я получил следующий график отношения для каждой из монет:

На этом графике красные звезды - это числа (отмасштабированные для соответствия той же диаграмме), которые были бы получены без учета соотношения сторон; синие кружки соответствуют значениям с$1/\eta$учитываются отношения. Очевидно, это улучшило посадку. Довольно убедительно, учитывая относительно зашумленные данные...

ЗАДУМАНИЕ

В звуковых записях, которые показала @alemi, видно несколько частот. Некоторые из них легко объяснить, если взглянуть на множественные моды простой круглой пластины — см., например , Waller, 1938 Proc. физ. соц. 50 70 .

Два изображения из этой публикации: во-первых, режимы вибрации:

И далее их относительные частоты:

Это показывает, что первая гармоника в 1,7 раза выше основной частоты. Глядя на данные, мы видим, что это действительно правильно: на самом деле, за квартал мы даже видим вторую гармонику (в 2,3 раза больше основной).

Вопрос о расщеплении основной частоты немного сложнее. Если вы когда-нибудь играли с пустой кофейной кружкой, вы, возможно, заметили, что при постукивании по краю высота звука меняется в зависимости от того, постукиваете ли вы прямо напротив ручки или под углом 45 градусов от нее. Это потому, что есть два симметричных режима: один, где ручка является узлом, и другой, где он является пучностью. Последний имеет несколько более низкую частоту.

То же самое может произойти и с никелем: когда вы посмотрите на изображение никеля до 2005 года, вы увидите, что материала больше в направлении север-юг и восток-запад. Это означает, что существует два режима вибрации: один с узлами синего цвета, а другой с узлами красного цвета:

Очевидно, что когда синие линии являются узлами, частота будет немного выше.

ЛИТЕРАТУРА

Я нашел статью, где это обсуждается более подробно - в целом это согласуется со всем вышесказанным, и даже получил очень похожие значения для частот (измеренных и смоделированных). Вы можете прочитать его по адресу http://me363.byu.edu/sites/me363.byu.edu/files/Emerson_Steed_CoinIdentification.pdf.

Интересно, что авторам не удалось зафиксировать звук копейки, хотя их модель предполагала частоту, близкую к той, которую измерил @alemi (13,1 кГц). Они показали первую моду вибрации как

который представляет собой красивое красочное трехмерное представление режима, описанного в статье Уоллера 1938 года.

Это не реклама.

Под рубрикой «попробуйте это дома» я хотел поделиться еще одной вещью, которую я обнаружил после написания моего предыдущего ответа, но она настолько не связана с этим ответом, что я подумал, что лучше написать это как отдельный пост.

Я обнаружил две интересные вещи. Во-первых, когда вы крутите монету на твердой поверхности, она «звенит» с характерными частотами, которые @alemi наблюдал при падении. Во-вторых, за три доллара вы можете получить приложение на свой iPhone, которое красиво это визуализирует. Обычно я не подключаю продукт (мои отношения с создателем приложения заключаются только в том, что я его купил…), но вот… Приложение называется «SignalSpy»; оно появилось в App Store всего несколько дней, и отзывов о нем еще не было. Он имеет четыре различных режима: осциллограф, спектр, уровни и спектрограмма. Хотя интересны все четыре режима, я обнаружил, что для этих экспериментов лучше всего подходит спектрограмма. Вот пример снимка экрана, который я сделал, когда крутил четыре разных золотых монеты (монета в 10 голландских гульденов — одна и та же монета, но разных лет):

На этом графике ось времени движется влево, поэтому новые спектры появляются справа, а самые старые спектры «скатываются» слева. Вы можете видеть, что я крутил несколько разных монет — последние четыре полосы — это четыре разных монеты, брошенные одна за другой. Большинство вещей вполне повторяемы: основная частота представляет собой яркую полосу около 8,2 кГц, есть слабая полоса на частоте 11, а затем группа полос в районе 17,5–19 кГц.

Чтобы эксперимент удался, я положил телефон на гранитную столешницу в тихой комнате. Я крутил монеты примерно в 6 дюймах от нижнего края телефона (там, где микрофон на iPhone 5) — стоит подойти ближе, и в спектре доминирует «грохот» катящейся по поверхности монеты. На таком расстоянии я получал хорошо разрешенные модальные частоты.

Я повторил этот эксперимент с 31 разным типом монет — преимущество в том, что я много путешествую. Некоторые монеты удивительно постоянны — 10 иен, 2 канадских доллара, полшекеля… — в то время как другие весьма изменчивы. Тот, который действительно выделялся, был американским никелем. В частности, вызывает недоумение наблюдавшееся ранее «расщепление мод». На некоторых пятицентовых монетах он вообще не проявляется; на других, это очень важно. Это говорит о том, что мое более раннее объяснение (способы, относящиеся к рельефу на монете) не может быть всей историей. И да, я проверил, что ориентация лица и здания (Монтичелло) одинаковая на всех монетах.

Я попытался измерить, была ли разница в округлости (эллиптическая форма вызвала расщепление мод) или на плоскостности (если монета не плоская, можно было бы ожидать расщепления мод). В пределах точности моего цифрового штангенциркуля (номинально 0,01 мм) я не увидел очевидного эффекта, который мог бы проследить до любого из них, но я попытаюсь повторить этот эксперимент, когда у меня будет доступ к более точному измерительному оборудованию — оба для измерения размеров и веса. Хотя это может быть какое-то время.

Покажу, как выглядят спектры набора пятаков (отсортированных примерно по степени расщепления):

Я не запускал все 20 монет в быстрой последовательности — на самом деле, это комбинация нескольких скриншотов, сделанных на моем телефоне, и я добавил большую шкалу слева, чтобы помочь измерить пиковые позиции.

Я обнаружил интересный факт о никеле — по закону его вес может варьироваться в широких пределах — при номинальной массе 5000 граммов допустимый допуск составляет 0,194 грамма (см. http://www.law.cornell. edu/uscode/text/31/5113 ). У меня не было возможности получить подробные характеристики всех монет, которые я измерял, — когда я это сделаю, я оценю свою формулу выше и посмотрю, применима ли формула, которую я вывел ранее, к широкому диапазону размеров и материалов. Я надеюсь, что соотношения сторон будут достаточно разными, чтобы я мог исследовать, является ли «линейное в$\eta$"верно предположение или нет.

Я делюсь этим в надежде, что другие начнут экспериментировать — это действительно простой и классный эксперимент. Приложение работает и на iPad.

Я не хочу что-то отнимать от предыдущих замечательных ответов, но ответ «простой и по существу» очень квалифицированный, да.

Под квалифицированным я подразумеваю, что нужно знать состав монеты, толщину, диаметр (или форму), распределение плотности, страну изготовления и т. д. Если сделать допущения и ограничения, то становится возможным вычислить массу монеты (для некоторых степень точности), от его частоты "пинга". Формула для использования предоставлена ​​Флорисом.

Я думаю, что основной вопрос как-то связан с уравнением энергии$E=m c^2=\hbar \nu$. В свою очередь мой ответ связан с вопросом 3D Упругие волны в стекле . Моим первым впечатлением было то, что монета претерпевает некоторую упругую деформацию после столкновения и что эту деформацию можно проанализировать с помощью собственных функций. Действительно, для нескольких протестированных чашек и стаканов показана спектрограмма с наивысшими пиками, связанными с собственными модами, как показано на рисунке 1.

Но монеты на самом деле не следуют этому правилу. Звук от удара монеты о какой-либо деревянный, металлический или каменный предмет имеет очень низкую частоту по сравнению с основным режимом, как показано в ответе @alemi. Также мы можем использовать звуковые дорожки для различения монет, это не так точно, как в случае с чашками или стаканами. Тем не менее, мы могли бы обсудить какой-нибудь детектор монет, чтобы сделать звук более связанным с отдельной монетой. В качестве детектора можно использовать, например, металлический ящик типа консервной банки. Когда мы кладем монету в банку и встряхиваем, она издает очень специфический звук для каждой монеты. Например, я протестировал 3 канадские монеты - четвертак, 1 доллар 2018 года и 2 доллара 2005 года в пустой жестяной банке из-под чая Акбар Цейлон. На рисунке 2 показаны 3 очень разные звуковые дорожки.

Отсюда можно сделать вывод, что каждая монета издает специфический звук, но это не связано только с массой. На рисунке 3 показано оборудование, которое я использовал для своего эксперимента — пустая жестяная банка, компьютер и монеты. Обратите внимание, что канадские монеты 1 доллар и 2 доллара имеют очень особенный дизайн - см. рис. 3. Тем не менее, я пытаюсь вычислить собственные значения, используя опубликованный здесь код - см. рис. 4. Первые 3 режима для четверти и луни очень близки (значения в Гц). показаны над рисунками), а массы разные - 4,4 г и 6,27 г соответственно. Вот почему мы не можем использовать звук удара только для того, чтобы различать их. С другой стороны, в банке они звучат по-разному — см. рисунок 2.

Монеты разного состава и формы будут издавать разные звуки. Рассмотрим аналогичную форму и состав монеты, изменив только ее массу. Также он падает с той же высоты и на ту же поверхность. Пусть монета металлическая (железная).

Когда он падает на поверхность, он производит шум. По закону сохранения энергии, чем тяжелее монета, тем больше потенциальная энергия будет преобразована в кинетическую энергию, и, следовательно, она будет более прочной при ударе.

Следовательно, вам просто нужно измерить его амплитуду в децибелах, чтобы узнать его звук.

PS: Вы также можете использовать продолжительность звука, так как они также будут вибрировать и издавать звук для разных временных интервалов.

PS2: изменение состава монеты будет производить разные частоты, которые снова можно легко измерить, а затем откалибровать по амплитуде.