При условии, что «оболочка» означает, что сферы радиально изменяющейся плотности имеют аддитивно объединенное распределение массы, а скорость вращения равна скорости системы двух тел, установка идентична CR3BP для областей вне тел .

... что мало помогает, так как$L_1$,$L_3$,$L_4$и$L_5$сейчас внутри$m_1$.

Но даже$L_2$выглядит не очень многообещающе, так как поверхность$m_1$вращается со скоростью выше орбитальной, быстро деформируя систему в эллипсоид Якоби , нарушая теорему об оболочке.

Таким образом, случай равной скорости вращения не кажется полезным.

Для жесткого корпуса ротора объекты только с одним масконом в плоскости экватора имели бы, по крайней мере,$L_2$и$L_3$«эквиваленты», являющиеся точками пересечения стационарной орбиты с линией центра-маскона.

The $L_4$и$L_5$эквиваленты тоже существуют, но для этого нужна математика!

$L_4$и$L_5$силы по-прежнему работают с меньшей скоростью вращения, треугольник просто вытягивается по вертикали, а баланс сохраняется за счет симметрии.

Чтобы доказать это:

Позволять$h$быть высотой равнобедренного треугольника и$\omega$быть угловой скоростью. Без ограничения общности можно также установить расстояние между$m_1$и$m_2$к 1, а также пусть сумма приведенных масс равна 1.

Ускорение как по оси x, так и по оси y совместно вращающейся системы отсчета должно быть равно 0 для некоторого значения$h$.

$$\sum F_x = \frac{m_1}{h^2 + \frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{h^2 + \frac{1}{4}}} - \frac{m_2}{h^2 + \frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{h^2 + \frac{1}{4}}} - \omega^2 \sqrt{h^2 \ \frac{1}{4} + m_2^2 - m_2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - m_2}{\sqrt{h^2 \ \frac{1}{4} + m_2^2 - m_2}} = 0$$

$$\frac{\frac{m_1 - m_2}{h^2 + \frac{1}{4}}}{2\sqrt{h^2 + \frac{1}{4}}} -\omega^2\left(\frac{1}{2} - m_2\right)= 0$$

$$\frac{1}{\omega^2} = \sqrt{\left(h^2 + \frac{1}{4}\right)^3}$$

И по вертикали:

$$\sum F_y = \frac{m_1}{h^2 + \frac{1}{4}} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + \frac{1}{4}}} + \frac{m_2}{h^2 + \frac{1}{4}} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + \frac{1}{4}}} - \omega^2 \sqrt{h^2 \ \frac{1}{4} + m_2^2 - m_2} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 \ \frac{1}{4} + m_2^2 - m_2}} = 0$$

$$\frac{\frac{h}{h^2 + \frac{1}{4}}}{\sqrt{h^2 + \frac{1}{4}}} -\omega^2h= 0$$

$$\frac{1}{\omega^2} = \sqrt{\left(h^2 + \frac{1}{4}\right)^3}$$

Математика проверяется!

$$h = \sqrt{\sqrt[3]{\omega^4} - \frac{1}{4}}$$

Для$\omega = 1$это дает нормальный$L_4$и$L_5$указывает на$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$, решения не существует, если$\omega \gt 2\sqrt{2}$, а для жестких ротаторов$\omega \lt 1$получается остроугольный равнобедренный треугольник с$h$стремящийся к бесконечности, как$\omega$приближается к нулю.

Но здесь мы видим, почему это (и общий случай тоже!) не работает для Луны, поскольку все такие точки по определению должны быть статичными относительно поверхности: Луна приливно привязана к Земле, поэтому эти местоположения должны совпадать с$EML_{1-5}$точки.

Ваша мыслительная проблема интересна.

Переподготовка по гало-орбитам

Во-первых, важно напомнить, что CR3BP позволяет переписать уравнения движения в неинерциальной вращающейся системе отсчета. Это важно, потому что это также означает, что сами точки Лагранжа существуют исключительно в этой вращающейся системе отсчета. Эта превосходная визуализация доктора Дайан Дэвис показывает на отметке 1 мин 08 с, как выглядит NRHO в невращающейся системе отсчета, в частности, в инерциальной системе отсчета J2000 с центром на Земле:

.

Во-вторых, CR3BP — это приближение динамики реального мира, это полезный инструмент для предварительной работы. Детальный анализ и оперативная работа выполняются в инерциальной системе отсчета с учетом масконов Земли и Луны, гравитации Солнца (и, возможно, даже Юпитера), давления солнечного излучения, проблем с работой двигателя (нарастание/спуск горения). ), и т. д.

Ваш мысленный эксперимент

Вам потребуется, чтобы маскон был достаточно большим, чтобы небесное тело имело допустимую аппроксимацию двух различных масс. В этот момент проблема становится проблемой астрофизики: может ли такой небесный объект существовать и , что особенно важно, может ли он существовать достаточно далеко от других небесных тел, чтобы гравитация этих внешних тел не слишком сильно возмущала орбитальное движение (тем самым нарушая приближение CR3BP).

Я считаю, что ответ здесь, скорее всего, нет . Для объектов странной формы (астероидов, комет, небольших спутников, таких как Фобос), как правило, невозможно просто вращать вокруг одного такого объекта. Когда солнечные системы находятся в зачаточном состоянии, у них есть сгусток углового момента, заставляющий аккреционные диски планетоидов концентрироваться в сфероиде. Объекты странной формы сформируются позже и не будут первичными небесными телами, как правило, меньшими объектами в облаке других (снова луны, астероиды, кометы). Следовательно, приближение CR3BP не будет верным при учете многих других объектов на аналогичных орбитах.

Чтобы копнуть глубже, я рекомендую прочитать исследование доктора МакМахона, который возглавляет лабораторию ORCCA в CU Boulder: https://www.colorado.edu/faculty/mcmahon/research . Многие исследования лаборатории сосредоточены на картографировании масконов астероидов во время их вращения (они много работали над O-Rex).