Могут ли все четырехмерные матрицы-столбцы быть представлены как тензорное произведение двумерных матриц-столбцов?

Глядя на сами гильбертовы пространства, мы действительно находим загадочное равенство

$$\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$$ поэтому тензорное произведение пространств кубитов равно парам незапутанных состояний. Или так казалось бы.

Поверхностное равенство неверно в физическом контексте, потому что изоморфизм между$\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2$и$\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$карта не даст$v\times w = (v,w)\mapsto v\otimes w$, но другим. Действительно, карта

$$\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2, (v_1,v_2,w_1,w_2)\mapsto v\otimes w = (v_1w_1,v_1w_2,v_2w_1,v_2w_2)$$ не является изоморфизмом, поскольку такие векторы, как $(1,0,0,1)$не лгите в его образ. Таким образом, хотя пространства незапутанных состояний и всех состояний абстрактно изоморфны, они не таковы, чтобы указывать на то, что все состояния запутаны.

Переход к проективному гильбертовому пространству позаботится об этом за нас (устранит поверхностное равенство), и тогда мы получим вложение Сегре незапутанных состояний в тотальное пространство:

$$S^2 \times S^2 \to P\mathbb{C}^4$$ где $S^2 = P\mathbb{C}^2$— известная сфера Блоха . Это отображение не является биективным, а является лишь «частью» большего расслоения Хопфа. $$S^3\to S^7\to S^4$$ которое можно использовать для описания полной двухкубитной системы. (Подробности об этом расслоении Хопфа см. в «Геометрии запутанных состояний, сфер Блоха и расслоений Хопфа» Р. Моссери и Р. Дандолоффа)