Можем ли мы использовать термин «калибровочная инвариантность U(1)» для свободного электромагнитного поля?

У ОП есть смысл. Поле$A^\mu$является связностью, а потому живет в алгебре калибровочной группы, а не в самой группе. В этом случае,$\mathfrak u(1)=\mathbb R$. На первый взгляд, это все, что мы можем сделать из$A\to A+\mathrm d\Lambda$. Группа$\mathrm U(1)$его, видимо, еще нет.

Правильное утверждение состоит в том, что теория, описанная$A^\mu$имеет$\mathfrak{u}(1)$калибровочная симметрия. Путем возведения в степень мы можем получить либо$\mathrm U(1)$или его универсальный чехол,$\mathbb R$. Какая из этих групп является «правильной» калибровочной группой, зависит от глобальных свойств$A$, которые не фиксируются алгеброй. Вместо этого они фиксируются рассматриваемой системой: некоторые$\mathfrak u(1)$теории возводят в степень$\mathrm U(1)$и некоторые другие$\mathbb R$. И какая из них правильная группа, можно понять только из физики рассматриваемой проблемы.

В случае YM+материя правильный вариант$\mathrm U(1)$(потому что мы требуем$\psi$быть однозначным). В некоторых других системах (таких как теория дробного эффекта Холла) алгебра$\mathfrak u(1)$на самом деле возводится в степень$\mathbb R$. В общем, единого варианта нет: оба в принципе верны. В этом смысле лучше сказать, что свободный электромагнетизм есть теория$\mathfrak u(1)$калибровочная симметрия (которая не обязательно соответствует$\mathrm U(1)$, но может соответствовать$\mathbb R$вместо).

Вы можете увидеть$U(1)$преобразования для свободного электромагнитного поля в петлях Вильсона (голономиях): С$A'_\mu = A_\mu+\partial_\mu\Lambda(x)$

Голономии главного расслоения, вообще говоря, отражают структурную группу расслоения. Когда путь закрыт, приведенная выше формула показывает нулевую голономию.

Однако, когда магнитный поток течет внутри контура, то$d\Lambda$не будет точным но закрытым будет сетевая фаза после полного оборота. Когда пространственно-временное многообразие имеет нетривиальную топологию (ненулевая фундаментальная группа). Эти факторы голономии могут быть измерены, и они принадлежат к группе$U(1)$.

Да мы можем; теория по-прежнему обладает локальной инвариантностью.

В ковариантном EM у вас есть тензор напряженности поля$F^{\mu\nu}$определяется с точки зрения потенциала$A^\mu$как

Отсюда следует инвариантность лагранжиана$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$.

Приложение:

Мы видели, что инвариантность закодирована в функции «без внутренних индексов» (и без индексов пространства-времени, но это неважно). Если мы произведем преобразование$\Lambda(x)$жесткая трансформация,$\Lambda$это просто (реальная) константа. Итак, жесткие преобразования параметризуются вещественными числами, а$\mathbb{R}$является алгеброй Ли группы$U(1)$.

Мы видим связь с$U(1)$по-другому. По причинам, по которым хочется, чтобы группа калибровочной симметрии была компактной, поэтому группа симметрии должна быть (изоморфна)$\mathbb{R}/Z$где$Z$является некоторой дискретной подгруппой$\mathbb{R}$; все эти частные изоморфны$U(1)$.

Затем можно изучить, как поля материи могут преобразовываться при калибровочном преобразовании, изучая представления$U(1)$; оказывается, что действительно они все формы$\exp(i n \Lambda)$с целым числом$n$и настоящий$\Lambda \in \text{Lie } U(1) \simeq \mathbb{R}$.

У нас одинаковое понятие калибровочной инвариантности в обеих теориях, т. е. в ЭМ и в КЭД. В обоих случаях калибровочное преобразование задается вещественной функцией ($\theta (x)$в КЭД и$\Lambda (x)$в ЭМ). В КЭД мы говорим о симметрии U(1), потому что эта действительная функция появляется как произвольная фаза для волновой функции$\psi (x)$и поэтому геометрия группы симметрии$S^1$. Однако в ЭМ геометрия калибровочной симметрии представляет собой реальную линию. В принципе, топологически нет разницы между$S^1$и$R^1$.