Можно ли поднять индексы ковариантных производных и их произведений?

Может ли быть правдой следующее?

  1. г о р ∇ р ∇ мю "=" ∇ о ∇ мю

  2. г о р ∇ ν ∇ о "=" ∇ ν ∇ р

  3. г о р ∇ ν ∇ мю Т о р "=" ∇ ν ∇ мю Т

да, это неотъемлемое свойство (определение) ковариантной производной конструкции.
@GrishaKirilin Это неправда - это работает только в том случае, если ковариантная производная относится к метрически-совместимому соединению.

Ответы (2)

  1. Это правда - на самом деле вы могли бы определить ∇ о "=" г о р ∇ р .

  2. Я предполагаю, что это хотел сказать

    г о р ∇ ν ∇ о "=" ∇ ν ∇ р .
    Опять же, это верно, но по несколько менее тривиальной причине, чем (1). Чтобы использовать (1), чтобы доказать это, вы должны иметь возможность переключаться г о р с ∇ ν , что вы можете сделать, потому что одна из аксиом, с которой мы начинаем при определении ковариантной производной, состоит в том, что она коммутирует с метрикой (т. е. метрика имеет исчезающую ковариантную производную, так что другой член в правиле произведения выпадает).

  3. Это также верно, следуя тем же рассуждениям, что и в (2).

Чтобы добавить к тому, что сказал Крис, повышение и понижение индексов с помощью метрики можно выполнять для индексов любого тензора. Поскольку ковариантная производная тензора является новым тензором с дополнительным индексом, повышение его индексов является частным случаем этого факта.
@joshphysics Это правда, но я думаю, что это немного вводит в заблуждение. Для несовместимого с метрикой соединения существует несколько неэквивалентных допустимых способов использования метрики для повышения и понижения индексов, а нотация OP неоднозначна. Например, если ф ν является одноформенной, то обозначение ∇ мю ф мю может быть истолковано как означающее либо г мю ν ∇ мю ф ν или ∇ мю ( г мю ν ф ν ) "=" ф ν ∇ мю г мю ν + г мю ν ∇ мю ф ν , которые являются допустимыми (но неэквивалентными) тензорными выражениями.

Небольшая тонкость в этом. Если это общая теория относительности в ее обычной формулировке, то все это верно. Затем ковариантная производная включает связь, обычно известную как связь Леви-Чивиты или Кристоффеля, которая имеет простую конструкцию, основанную на метрике. Эта ковариантная производная коммутирует с метрикой — на жаргоне она «совместима с метрикой». Однако можно определить соединения и связанные с ними ковариантные производные, которые несовместимы с метрикой. Но очень маловероятно, что вы имеете дело с ними - если вы смотрите на GR, комментарии выше совершенно правильны.

Можно ли поднять индексы ковариантных производных и их произведений?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v