Можно ли векторный потенциал записать в виде A=∇χA=∇χ\mathbf A = \nabla \chi для некоторой сингулярной функции χχ\chi?

Соответствующий векторпотенциал равен$\vec A=\frac{1}{2}c\,{\rm sgn}(y)\,\hat x$, потому что${\rm sgn}(y)=2H(y)-1$и поэтому$\frac{d}{dy}{\rm sgn}(y)=2\delta(y)$. Рассмотрим теорему Гельмгольца о разложении для некоторого векторного поля$\vec F(\vec r)$:

$$\vec F(\vec r)=\vec\nabla\left[-\frac{1}{4\pi}\int dV' \frac{(\vec\nabla\cdot\vec F)(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|}\right]+\vec\nabla\times\left[\frac{1}{4\pi}\int dV' \frac{(\vec\nabla\times\vec F)(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|}\right].$$ Теперь расхождение в$\vec A$является$0$. Таким образом, мы получаем, что это может быть записано только как вращение. Хотя по этому аргументу постоянная функция$\vec F(\vec r)=c\,\hat x$также не может быть описан как градиент, что неверно:$\vec F(\vec r)=\vec\nabla c\, x$. Может быть, теорема Гельмгольца здесь все-таки не поможет, поскольку она просто показывает, что$\vec A$можно записать как вращение, хотя это не показывает, что его нельзя записать как градиент.