∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k сходится абсолютно и ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k сходится следует, что ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) сходится?

это домашнее задание, которое я сделал несколько дней назад, мое решение отличается от официального решения, но вывод правильный. Тем не менее, я не уверен, что это просто совпадение, поскольку мое решение очень простое. Я благодарен, если вы могли бы взглянуть.

Вопрос:

$\sum_{k=0}^\infty a_k$сходится абсолютно и$\sum_{k=0}^\infty b_k$сходится Означает ли это, что$\sum_{n=0}^\infty b_ksin(a_k)$сходится?

Вот я и подумал, потому что$\sum_{n=0}^\infty a_k$сходится абсолютно, мы имеем, что$\lim{n\to \infty}$из$a_k= 0$.

$$\lim_{x\to 0} \frac {\sin(x)}{x} = 1$$ Поэтому я подумал: $$\lim_{k\to \infty} \frac {\sin(a_k)}{a_k} = 1$$

Так что есть некоторые$N$после которого

$$\sin(a_k) \approx a_k$$

И$\sum_{n=0}^\infty b_ka_k$сходится. Поэтому я разбиваю серию на

$$S_N = \sum_{k=0}^N b_k\sin(a_k)$$ как:

$$\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) = S_N + \sum_{n=N+1}^\infty b_ka_k$$

Я думаю, что это должно быть неправильно сейчас. Но я не понимаю, почему? Прошу прощения за форматирование, я пока не очень в этом разбираюсь.