Нахождение углового момента в частном случае

Question

Нахождение углового момента в частном случае

Шварц Кугельблиц

Допустим, имеется твердое тело М, вращающееся вокруг оси, не проходящей с угловой скоростью $\omega$ через его центр масс и одновременно перемещаясь со скоростью $v$ . Каким будет выражение для момента импульса этого тела относительно точки Р, находящейся в пространстве вне тела на расстоянии $r$ от центра масс твердого тела?

Я выяснил, как написать выражение для углового момента для случая, когда твердое тело перемещается и вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс с определенной угловой скоростью.

РВ Берд

Если тело движется свободно без действия внешних сил, то центр масс должен двигаться прямолинейно. Любое вращение должно происходить вокруг центра масс. Любое вращение вне центра потребовало бы оси, ограниченной извне, и угловой момент вокруг внешней точки не сохранялся бы.

Джон Алексиу

@RWBird - Комбинированное вращение вокруг центра масс и перемещение центра масс означает, что мгновенный центр вращения будет удален от центра масс.

Джон Алексиу

Пожалуйста , отредактируйте сообщение и покажите свою работу, чтобы мы могли внести свой вклад в той же структуре.

Шварц Кугельблиц

Хорошо, предположим, что на твердое тело действуют внешние силы, вызывающие вращение вокруг точки твердого тела, отличной от центра масс. Кроме того, меня не интересует сохранение углового момента, меня просто интересует нахождение выражение для того же.

Qмеханик

Небольшой комментарий: угловая скорость не 'W'. Это греческая омега.

Шварц Кугельблиц

Я это знаю, но не смог напечатать

Джон Алексиу

Введите математику внутри знаков доллара. Так что это $x+1$ показывает как

x + 1

$x+1$ . Для греческих букв используйте \omega, \alpha... Для перекрестного произведения \timesи дробей используйте \frac{a}{b}=>

\frac{a}{b}

$\frac{a}{b}$ . Подробнее здесь

Шварц Кугельблиц

Спасибо за помощь!

Ответы (3)

Нахождение углового момента в частном случае

Если тело движется свободно без действия внешних сил, то центр масс должен двигаться прямолинейно. Любое вращение должно происходить вокруг центра масс. Любое вращение вне центра потребовало бы оси, ограниченной извне, и угловой момент вокруг внешней точки не сохранялся бы.
@RWBird - Комбинированное вращение вокруг центра масс и перемещение центра масс означает, что мгновенный центр вращения будет удален от центра масс.
Пожалуйста , отредактируйте сообщение и покажите свою работу, чтобы мы могли внести свой вклад в той же структуре.
Хорошо, предположим, что на твердое тело действуют внешние силы, вызывающие вращение вокруг точки твердого тела, отличной от центра масс. Кроме того, меня не интересует сохранение углового момента, меня просто интересует нахождение выражение для того же.
Небольшой комментарий: угловая скорость не 'W'. Это греческая омега.
Введите математику внутри знаков доллара. Так что это $x+1$ показывает как $x+1$ . Для греческих букв используйте \omega, \alpha... Для перекрестного произведения \timesи дробей используйте \frac{a}{b}=> $\frac{a}{b}$ . Подробнее здесь

Эли · Answer 1

Угловая скорость точки p равна:

{\vec{ю}}_{п} "=" \frac{\vec{ты} \times {\vec{в}}_{п}}{{\vec{ты}}^{Т} \vec{ты}}

$\vec{\omega}_p=\frac{\vec{u}\times \vec{v}_p}{\vec{u}^T\,\vec{u}}$

где $\vec{v}_p$ скорость точки p:

{\vec{в}}_{п} "=" \vec{в} + \vec{ю} \times \vec{ты}

$\vec{v}_p=\vec{v}+\vec{\omega}\times \vec{u}$

и $\vec{u}=\vec{r}-\vec{u}_1$

Угловой момент равен:

л "=" я_{п} {\vec{ю}}_{п}

$L=I_p\,\vec{\omega}_p$

с $I_p$ тензор инерции в точке p

я_{п} "=" я_{COM} + М (- \tilde{р} \tilde{р})

$I_p=I_{\text{COM}}+M\,(-\tilde{{r}}\,\tilde{{r}})$

где :

\tilde{р} "=" [\begin{matrix} 0 & - р_{г} & р_{у} \\ р_{г} & 0 & - р_{Икс} \\ - р_{у} & р_{Икс} & 0 \end{matrix}]

$\tilde{r}=\begin{bmatrix} 0 & -r_z & r_y \\ r_z & 0 & -r_x \\ -r_y & r_x & 0 \\ \end{bmatrix}$

и $I_{\text{COM}}$ Матрица инерции (тензор) в ЦОМ

я_{COM} "=" [\begin{matrix} я_{Икс Икс} & я_{Икс у} & я_{Икс г} \\ я_{Икс у} & я_{у у} & я_{у г} \\ я_{Икс г} & я_{у г} & я_{г г} \end{matrix}]

$I_{\text{COM}}=\begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \\ \end{bmatrix}$

Я только что учусь в старшей школе и не занимался тензорами, поэтому понятия не имею, что вы написали.
@SchwarzKugelblitz Я добавляю для вас еще уравнение
Было бы более ясно, что вы говорите о теореме о параллельных осях, если бы вы это сделали $я_{п} "=" я_{COM} + М (- \tilde{р} \tilde{р})$ $I_p=I_{\text{COM}}+M\,\left(-\tilde{{r}}\,\tilde{{r}}\right)$

Джон Алексиу · Answer 2

Рассмотрим общую ситуацию. Твердое тело имеет массу $m$ и массовый момент инерции $\mathbf{I}_C$ в мировой системе координат, измеренной в центре масс. Тело движется в какой-то момент со скоростью $\boldsymbol{v}_C$ измеряется в центре масс и вращается с $\boldsymbol{\omega}$ . Есть и отдельная достопримечательность $P$ вдали от центра масс $C$ где измеряются величины.

фигура

Линейный импульс (общий для всего тела) определяется исключительно движением центра масс и не зависит от местоположения.
$п "=" м в_{С}$ $\boldsymbol{p} = m \,\boldsymbol{v}_C$
Угловой момент (измеряемый в центре масс) определяется вращением тела и массовым моментом инерции.
$л_{С} "=" я_{С} ю$ $\boldsymbol{L}_C = \mathbf{I}_C \boldsymbol{\omega}$
Скорость в P
$в_{п} "=" в_{С} + (р_{С} - р_{п}) \times ю$ $\boldsymbol{v}_P = \boldsymbol{v}_C + ( \boldsymbol{r}_C - \boldsymbol{r}_P) \times \boldsymbol{\omega}$
Линейный импульс через скорость в P
$п "=" м (в_{п} + ю \times (р_{С} - р_{п})$ $\boldsymbol{p} = m ( \boldsymbol{v}_P + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{r}_C - \boldsymbol{r}_P)$
Угловой момент относительно P
$л_{п} "=" л_{С} + (р_{С} - р_{п}) \times п$ $\boldsymbol{L}_P = \boldsymbol{L}_C + (\boldsymbol{r}_C-\boldsymbol{r}_P) \times \boldsymbol{p}$ $л_{п} "=" я_{С} ю + (р_{С} - р_{п}) \times м (в_{п} + ю \times (р_{С} - р_{п}))$ $\boldsymbol{L}_P = \mathbf{I}_C \boldsymbol{\omega} + (\boldsymbol{r}_C - \boldsymbol{r}_P) \times m ( \boldsymbol{v}_P + \boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{r}_C - \boldsymbol{r}_P) )$
Мгновенный центр вращения
$р_{С О р} "=" р_{С} + \frac{ю \times в_{С}}{‖ ю ‖^{2}}$ $\boldsymbol{r}_{\rm COR} = \boldsymbol{r}_C + \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_C }{ \| \boldsymbol{\omega} \|^2 }$
Мгновенная ось удара (линия, по которой проходит импульс. Ударьте здесь молотком, чтобы остановить движение и вращение тела)
$р_{я А п} "=" р_{С} + \frac{п \times л_{С}}{‖ п ‖^{2}}$ $\boldsymbol{r}_{\rm IAP} = \boldsymbol{r}_C + \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}_C}{ \| \boldsymbol{p} \|^2 }$

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

пользователь 243798 · Answer 3

После длительного вывода вы можете использовать этот результат: $\bf{L}=\bf{L}_{cm}+\bf{r}\times M\bf{V}_{cm}$ . Здесь, $\bf{r}$ - вектор положения центра масс относительно выбранной системы отсчета (бонус здесь, тип системы не имеет значения, она может быть инерционной или неинерциальной), $\bf{L}$ - угловой момент в выбранной системе отсчета, $\bf{L}_{cm}$ – угловой момент в системе ЦМ.

Таким образом, для чистого вращения угловой момент в любом случае будет $I\omega$

Нахождение углового момента в частном случае

Шварц Кугельблиц

РВ Берд

Джон Алексиу

Джон Алексиу

Шварц Кугельблиц

Qмеханик

Шварц Кугельблиц

Джон Алексиу

Шварц Кугельблиц

Ответы (3)

Эли

Шварц Кугельблиц

Эли

Джон Алексиу

Джон Алексиу

тпг2114

пользователь 243798

Кашмири

Как эта многотельная система будет вращаться в свободном пространстве?

Может ли прецессия происходить без внешних сил?

Как угловой момент способствует увеличению нормальной силы?

Будут ли стержни вращаться вокруг шарнира после столкновения?

Угловой момент вращающегося и вращающегося тела (земля)

Вычислить общий угловой момент объекта, вращающегося вокруг двух осей (например, Земли)

При каких условиях справедливо соотношение L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [дубликат]

Уточнение относительно главных осей при движении твердого тела

Какие факторы могут помочь машине перевернуться на повороте?

Земля продолжает вращаться по инерции?