Нарушение симметрии специальной подалгебре?

Это продолжение моего вопроса здесь .

  • Для регулярных подалгебр некоторой групповой алгебры Ли система корней подалгебры является подмножеством системы корней исходной групповой алгебры. Другими словами, образующие подалгебры являются подмножеством образующих исходной группы.
  • Подалгебры, система корней которых не является подмножеством системы корней исходной алгебры, называются специальными подалгебрами . Следовательно, генераторы не являются подмножеством генераторов исходной группы.

Используя механизм Хиггса, как хорошо объяснил @Heterotic в вопросе, на который я ссылался выше, мы просто проверяем, какие генераторы остаются неповрежденными после того, как одно или несколько полей Хиггса получают vev. Затем:

«Оставшаяся после нарушения симметрии подгруппа — это просто группа, порожденная ненарушенными образующими».

Это, безусловно, верно для регулярных подалгебр, но как это работает для специальных подалгебр? Как мы можем определить, что мы разбились на специальную подалгебру, дав vev полю Хиггса, если образующие подалгебры не являются подмножеством образующих исходной группы?

Возможно, было бы легче обдумать ответ, если бы вы предоставили простой, краткий, явный пример специальной подалгебры небольшой алгебры Ли. Ваше определение такового на первый взгляд вызывает недоумение.

Ответы (1)

Подалгебры, система корней которых не является подмножеством системы корней исходной алгебры, называются специальными подалгебрами. Следовательно, генераторы не являются подмножеством исходных генераторов группы .

Это не совсем так. Специальная подалгебра - это подалгебра, операторы шага которой не образуют подмножество операторов шага алгебры. Это то, что подразумевается под корневой системой, не являющейся подмножеством другой корневой системы. Это не означает, что генераторы подалгебр не являются подмножеством генераторов алгебр.

Пример: рассмотрим трехмерное представление г "=" с ты ( 3 ) , генераторы которого Т а "=" λ а / 2 , где λ а матрицы Гелл -Манна . Шаговые операторы

Е ± α 1 "=" Т 1 ± я Т 2 , Е ± α 2 "=" Т 6 ± я Т 7 , Е ± ( α 1 + α 2 ) "=" Т 4 ± я Т 5 ,
Регулярное вложение: генераторы Т 1 , Т 2 и Т 3 образуют подалгебру с ты ( 2 ) . Операторы шага этой подалгебры т ± "=" Т 1 ± я Т 2 "=" Е ± α 1 . Операторы шага подалгебры образуют подмножество операторов шага алгебры.

Специальное вложение: Другой с ты ( 2 ) подалгебра задается Т 2 , Т 5 и Т 7 . В этом случае ступенчатые операторы т ± "=" Т 5 ± я Т 7 которые не могут быть записаны в терминах ступенчатых операторов с ты ( 3 ) .

Обратите внимание, что правила ветвления для первого встраивания 3 "=" 2 ⊕ 1 в то время как для второго 3 "=" 3 .

Нарушение симметрии специальной подалгебре?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v