О сохранении углового момента и энергии

Question

О сохранении углового момента и энергии

Жоао Хироюки

Задача: Две частицы с массой $m$ прикреплены к пружине незначительной массы длиной $l_0$ без растяжения. Пружина растягивается до тех пор, пока не станет в два раза больше своей первоначальной длины, и освобождается после скорости, перпендикулярной пружине. $(v_0, - v_0)$ передается частицам, так что $kl_0^2 = mv_0^2$ , где $k$ - пружинная постоянная. Рассчитать компоненты $(v_r, v_\theta)$ скорости частицы, когда пружина проходит через нерастянутое положение, где $v_r$ - радиальная скорость и $v_\theta$ тангенциальная скорость

Посмотреть скетч здесь

Моя попытка:

Поскольку сила, действующая на массы, является радиальной, угловой момент сохраняется так, что:

\frac{я_{я} в_{я}}{р_{я}} "=" \frac{я_{ф} в_{ф}}{р_{ф}}

$\frac{I_i v_i}{R_i} = \frac{I_f v_f}{R_f}$

Где $I$ момент инерции системы, $v$ скорость и $R$ радиус вращения. Начальный момент — это момент отпускания, а конечный — момент, когда пружина находится в нерастянутом положении. Это подразумевает, что:

в_{θ} "=" 2 в_{0}

$v_\theta = 2v_0$

Таким образом, по закону сохранения энергии имеем:

U_{я} + К_{я} "=" U_{ф} + К_{ф}

$U_i + K_i = U_f + K_f$

Следовательно:

\frac{к л_{0}^{2}}{2} + \frac{м в_{0}^{2}}{2} "=" \frac{м в^{2}}{2}

$\frac{kl_0^2}{2} + \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

к л_{0}^{2} + м в_{0}^{2} "=" м в^{2}

$kl_0^2 + mv_0^2 = mv^2$

7 м в_{θ}^{2} "=" м в^{2} "=" м (в_{р}^{2} + в_{θ}^{2})

$7mv_\theta^2 = mv^2 = m(v_r^2 + v_\theta^2)$

Таким образом, мы имеем:

в_{р} "=" в_{0} \sqrt{3}

$v_r = v_0 \sqrt{3}$

Ответ книги говорит, что $v_r = 0$ , но я думаю, что это неправильно.

Буду рад, если вы мне поможете, заранее спасибо.

Бен51

Это правда

v_{r} = 0

$v_r=0$ , так что в одном смысле книга правильная. Однако пружина никогда не проходит через свою нерастянутую длину. Начальные условия таковы, что сила пружины точно такая, какая требуется для кругового движения. Таким образом

v_{r} = 0

$v_r=0$ и

v_{θ} = v_{0}

$v_{\theta}=v_0$ всегда.

Ответы (2)

О сохранении углового момента и энергии

Это правда $v_r=0$ , так что в одном смысле книга правильная. Однако пружина никогда не проходит через свою нерастянутую длину. Начальные условия таковы, что сила пружины точно такая, какая требуется для кругового движения. Таким образом $v_r=0$ и $v_{\theta}=v_0$ всегда.

малиновый · Answer 1

Книга правильная. Центростремительная сила, необходимая для поддержания вращения масс на постоянном радиусе, определяется выражением $F_{cent}=\frac{mv_0^2}{r}=\frac{kl_0^2}{l_0}=kl_0$ . Это как раз сила, действующая на пружину.

Как книга правильная? Нерастянутое положение есть $r=l_0/2$ и, как показано ниже и также аргументировано вами, движение ограничено кругом $r=l_0$ .
Книга права, что лучевая скорость равна нулю. Неправильно, что пружина когда-либо достигает своей нерастянутой длины.
@ Бен, сломанные часы показывают правильное время два раза в день. У замкнутой частицы в центральном потенциале, если смотреть на нее в радиальных координатах, всегда будет по крайней мере одно место, где скорость равна нулю. Не делает книгу правильной.

Борун Чоудхури · Answer 2

Ответ книги неверен (или, может быть, вы ошиблись в понимании). Ниже я буду рассматривать только одну частицу, так как задача симметрична относительно обмена частицами. Это означает, что жесткость пружины необходимо умножить на 2. Сохранение энергии дает

в_{р}^{2} + в_{θ}^{2} + \frac{2 к л_{0}^{2}}{м} (\frac{р}{л_{0}} - \frac{1}{2})^{2} "=" с о н с т

$v_r^2 + v_\theta^2 + \frac{2kl_0^2}{m} (\frac{r}{l_0} - \frac{1}{2})^2 = const$

Используя ваше отношение $k l_0^2 = m v_0^2$ и угловой момент $L=m l_0 v_0$ мы можем написать это как

в_{р}^{2} + \frac{в_{0}^{2}}{(\frac{р}{л_{0}})^{2}} + 2 в_{0}^{2} (\frac{р}{л_{0}} - \frac{1}{2})^{2} "=" с о н с т

$v_r^2 + \frac{v_0^2}{(\frac{r}{l_0})^2} + 2 v_0^2 (\frac{r}{l_0} - \frac{1}{2})^2 = const$

Мы можем записать масштабированное радиальное положение $\rho = \frac{r}{l_0}$ и получить

\frac{3}{2} в_{0}^{2}

$\frac{3}{2} v_0^2$

для константы, положив $v_r=0$ и $\rho=1$ . Так мы получаем решение проблемы

\frac{в_{р}}{в_{0}} "=" \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{1}{р^{2}} - 2 (р - \frac{1}{2})^{2}} "=" \frac{р - 1}{р} \sqrt{- (2 р^{2} + 2 р + 1)}

$\frac{v_r}{v_0} = \sqrt{ \frac{3}{2} - \frac{1}{\rho^2} - 2(\rho- \frac{1}{2})^2} \\ = \frac{\rho-1}{\rho} \sqrt{ - (2 \rho^2 +2 \rho +1)}$

Поскольку количество в квадратном корне всегда отрицательное, единственное решение $\rho=1$ .

Интересно посмотреть, если мы скажем $\frac{kl_0^2}{mv_0^2}=\gamma$ . Тогда у нас есть

\frac{в_{р}}{в_{0}} "=" \sqrt{(1 + \frac{γ}{2}) - \frac{1}{р^{2}} - 2 γ (р - \frac{1}{2})^{2}}

$\frac{v_r}{v_0} = \sqrt{ (1+ \frac{\gamma}{2}) - \frac{1}{\rho^2} - 2 \gamma(\rho-\frac{1}{2})^2} \\$

и я рисую под разрешенными областями сплошными линиями и запрещенными пунктирными линиями для трех значений $\gamma$ .

Мы видим, что когда $\gamma<1$ (пружина ослаблена) разрешенная область находится снаружи $r=l_0$ в то время когда $\gamma>1$ (пружина туже) разрешенная область находится внутри $r=l_0$ . Конечно, когда $\gamma=1$ (в данном случае) мы получаем разрешенную область $r=l_0$ .

О сохранении углового момента и энергии

Жоао Хироюки

Бен51

Ответы (2)

малиновый

Борун Чоудхури

Бен51

Борун Чоудхури

Борун Чоудхури

Земля продолжает вращаться по инерции?

Что заставляет нас крутиться в сальто?

Пример несохранения углового момента, но действительно ли требуется внешний крутящий момент?

Передача углового момента при столкновении двух гладких тел.

Сохранение углового момента для объекта, не вращающегося

Как сохраняется угловой момент при освобождении массы?

Почему Земля вращается? [дубликат]

Почему Земля вращается вокруг одной оси?

Фигуристка прибавляет энергии

Почему здесь (вроде бы) нарушается закон сохранения момента импульса?