Обобщение простых чисел на матрицы?

Можно ли обобщить простые числа на матрицы? Я пытаюсь собрать кубик Рубикса за минимальное количество шагов, и я думаю, что это было бы полезно. Я думаю, что операции с кубом Рубикса можно представить на языке линейной алгебры или матриц. Отсюда, может быть, я смогу представить решение кубика Рубикса как произведение матриц. Преобразование произведения матриц в его минимальное разложение (именно здесь вступает в действие основная версия матриц) должно обеспечить «минимальное» решение.

Раскрытие информации: это всего лишь моя интуиция, и я полностью понимаю, если то, что я только что написал, не имеет особого смысла).

Вы разбираетесь в кольцах?
Нет. У меня есть опыт работы в области эконометрики и статистики. Я сделал много различных предметов бакалавриата и магистратуры по математике. Я изучал сложную линейную алгебру, но не изучал кольца.
Мне сказали изучить статью в Википедии «Уникальный домен факторизации», но я был бы признателен за дальнейшие советы.
Понятно, у меня нет времени писать ответ прямо сейчас, но обычно «простые числа» относятся к системе счисления, в которой вы работаете, поэтому простые числа имеют смысл в целых числах, но простые числа в рациональных числах не имеет смысла, даже если целые числа содержатся в рациональных числах. Эти системы счисления называются кольцами, и обычно матрицы образуют кольцо, называемое кольцом матриц . Итак, вам нужны простые элементы матричного кольца.
Однако я должен отметить, что простые элементы действительно имеют смысл только в том случае, если ваше кольцо имеет коммутативное умножение. Однако большинство матричных колец не имеют коммутативного умножения.
Что ж, если вы представите операцию куба Рубикса в виде матрицы, тогда вам не придется иметь дело с иррациональными числами... Также обратите внимание, что операции куба Рубикса не коммутативны.
Я подозреваю, что абстрактная математика, которую вы пытаетесь изобрести, является приложением теории групп, а не теории колец. Поищите по групповой теории кубик рубика и найдете несколько ссылок. Вот один из них: math.harvard.edu/~jjchen/docs/…
@Christian о более фундаментальном примечании: поиск схемы для представления манипуляций Рубика с матрицами называется поиском представления группы кубиков Рубика.
@EthanBolker Вы меня опередили, но да, читая отредактированный вопрос, кажется, что теория групп действительно подходит для этого.
@ Хуан и Итан - спасибо за совет. Я собираюсь прочитать предоставленные ссылки и найти решение. В конце концов, я бы реализовал решение на языке программирования Python, чтобы проверить, может ли это работать. Но я подозреваю, что столкнусь с препятствием при попытке разложить «простую матрицу», поскольку уже известно, что факторизация простых чисел является очень сложной задачей. Тем не менее, это все еще стоит трещины.
Одной из самых элементарных манипуляций является, например, поворот на один ряд влево. Но и этот можно разложить, т.е. на три оборота вправо. Как определить основную манипуляцию_ в этом контексте?
Если вы хотите поиграть с простыми числами в другом контексте, посмотрите на гауссовские целые числа. Это комплексные числа, у которых действительная и мнимая части являются целыми числами. Они забавно разные. 10 "=" ( 3 + я ) ( 3 − я ) Таким образом, уникальная факторизация все еще применяется.

Ответы (1)

Одна специфическая связь между простыми числами и произведениями матриц связана с определением так называемой динамической дзета-функции . Я не уверен, что это то, что вы ищете, но это может дать вам некоторые идеи. Вот явное приложение к произведениям матриц https://arxiv.org/abs/chao-dyn/9301001

Обобщение простых чисел на матрицы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v