Объяснение важности аналитических формул, представляющих арифметические функции, связанные с эквивалентностями гипотезы Римана.

См. книги по дзета-функции Римана, где все объясняется. Ядро явных формул для$\sum_{n \le x} a_n$где$a_n$является мультипликативным или аддитивным, является обратным преобразованием Меллина, и теорема о вычетах применяется к$F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}= s \int_1^\infty (\sum_{n \le x} a_n) x^{-s-1}dx$предполагается, что оно имеет мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость, иначе мы получим только более слабые утверждения (асимптотические оценки). См. подобные вопросы и вопросы, посвященные доказательству теоремы о простых числах.

Гипотеза Римана закодирована в очень сложных функциях$\frac{1}{\zeta(s)}, \log \zeta(s), \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$и в соответствующих арифметических функциях$\mu(n), \frac{\Lambda(n)}{\log n},\Lambda(n)$. К сожалению, у нас есть доступ только к$\zeta(s)$очень простая функция, определенная в терминах целых чисел.

Гипотеза Римана сложна, потому что она неверна практически для любой крошечной модификации, которую вы можете сделать, чтобы$\zeta(s)$(дзета-функция Гурвица, линейные комбинации L-функций Дирихле..), поэтому спектральная интерпретация гипотезы Римана является хорошей идеей: думать о (мнимой части) нетривиальных нулей как о собственных значениях некоторого неограниченного самосопряженного линейного операторы, крошечные модификации которых дают несамосопряженный оператор, к которому спектральная теорема неприменима.

Я хочу ответить на конкретный вопрос пользователя 243301:

Есть ли какая-то общая цель в попытке найти аналитические формулы для конкретных арифметических функций, которые проявляются в эквивалентностях гипотезы Римана? Должны ли рассуждения о том, что такие аналитические представления должны разрешить гипотезу Римана, или же они предоставят нам ценную информацию о гипотезе Римана? Для каких арифметических функций должно быть интересно найти такое аналитическое представление? ......и т. д.

Предлагаемый мной ответ : (а) я обнаружил, что функция, которая отражает свойства дзета-функции,$\zeta(s)$, необходимая для доказательства гипотезы Римана, есть функция$F(s)= \zeta(2s) / \zeta(s)$. Эта функция F(s) обладает тем свойством, что все нетривиальные нули$\zeta(s)$появляются как полюса в F(s). Поэтому тогда необходимо доказать (гипотезу Римана), что все полюсы F(s) лежат на критической линии.

(б) Наиболее важной арифметической функцией является функция Лиувилля$\lambda(n)$, который определяется как$\lambda(n) = +1$, если n имеет четное число простых множителей и$\lambda(n) =-1$если n имеет нечетное число простых множителей. Так получается, что$F(s)=\Sigma \frac{\lambda(n)}{n^s}$. Чтобы доказать, что F(s) имеет только полюсы на критической прямой, нужно тщательно изучить свойства факторизации целых чисел. Получается так, что$\lambda(n)$вести себя как «подбрасывание монеты», и именно такое поведение функции Лиувилля делает все полюса$F(s)$лежат на критической линии. Подробнее см. Цитаты ниже.

Все задачи, указанные в (a) и (b) выше, были выполнены в: Arxiv: https://arxiv.org/pdf/1609.06971v9.pdf

и я написал «Дорожную карту» статьи в: https://www.researchgate.net/publication/318283850_A_Road_Map_of_the_Paper_on_Coin_Tosses_and_the_Proof_of_the_of_the_Riemann_Hypothesis

К. Эсваран