Объясняет ли ОТО космологическое замедление времени?

Я думаю, что ваше основное замешательство состоит в том, что вы думаете, что замедление времени$dt/dτ$. Это определение бессмысленно, потому что системы координат произвольны и бессмысленны. Может даже не быть координаты с именем$t$.

Причина$dt/dτ$в координатах Шварцшильда полезно то, что координаты Шварцшильда обладают трансляционной симметрией$t\mapsto t+δt$. Следовательно, вы можете привести следующий аргумент: предположим, что вы испускаете два световых импульса с частотой$(t_e, \mathbf x_e)$и$(t_e{+}δt_e, \mathbf x_e)$, и они получены в$(t_r, \mathbf x_r)$и$(t_r{+}δt_r, \mathbf x_r)$. Путь, по которому следует свет, может быть сложным, но независимо от деталей из симметрии следует, что$δt_e = δt_r$. Следовательно, коэффициент красного смещения/замедления времени,$δτ_r/δτ_e$, равно$(δt_e/δτ_e)/(δt_r/δτ_r)$.

В координатах FLRW вы можете сделать аналогичный аргумент. Подавляя два пространственных измерения, метрика$dt^2-a(t)^2 dx^2$. Это имеет трансляционную симметрию$x\mapsto x+δx$. Поэтому, если вы излучаете два луча из$(t_e,x_e)$и$(t_e,x_e{+}δx_e)$и они получены в$(t_r,x_r{+}δx_r)$, по симметрии$δx_e=δx_r$а отношение принимаемой и излучаемой длин волн равно$(δx_e/δχ_e)/(δx_r/δχ_r) = a(t_r)/a(t_e)$(где$χ=a(t)\,x$). Если$δx$достаточно мала, то$(t,χ)$координаты по существу Минковского и$δt_r/δt_e = a(t_r)/a(t_e)$также.

Этим двум частным случаям дали названия «гравитационное красное смещение» и «космологическое красное смещение», но они отличаются от обычных красных смещений только тем, что их легко вычислить с помощью конкретных аргументов симметрии. В общей теории относительности есть только один вид красного смещения, и в принципе его всегда можно рассчитать, рассчитав траектории световых лучей, испускаемых в немного разных положениях пространства-времени.

Замедление времени и красное смещение тесно связаны друг с другом.

Мысленный эксперимент

Представьте себе инопланетянина в далекой галактике, направляющего два лазера на Землю. У одного очень большая длина волны, а у другого очень короткая. Инопланетяне устроили так, что при каждом цикле длинноволнового лазера они посылают короткие коротковолновые импульсы. Вы можете представить себе короткий импульс, испускаемый одновременно с одним из гребней длинноволнового лазера.

Если мы позвоним$\lambda_L$длинной волны (измеренной инопланетянином), то другой лазер излучает импульсы с интервалом$\Delta t =\lambda_L / c$(по измерениям инопланетянина).

Что вы видите с Земли? Ну, из-за красного смещения вы получаете длину волны

$$\lambda_L' = (1+z)\lambda_L.$$ Через какие интервалы приходят импульсы другого лазера? Ну, в вакууме групповая скорость света такая же, как и фазовая скорость, если короткий импульс излучается одновременно с одним из гребней, он прибудет к вам в то же время, что и гребень. Таким образом, он будет прибывать с интервалом в $$\Delta t' = \lambda_L'/c = (1+z)\lambda_L / c = (1+z)\Delta t.$$ Это замедление времени. Инопланетянин может использовать$\Delta t$как единицу времени и измерять всю свою деятельность, используя эту единицу. Если они празднуют Новый год каждый$10^{10}\Delta t$, вы будете видеть фейерверк каждый$(1+z)10^{10}\Delta t$.

(Мы проигнорировали тот факт, что лазерный импульс будет распространяться. Вы думаете о модуляции максимумов интенсивности короткого лазера или о посылке импульсов каждые$n$гребни, чтобы разброс не вызывал нахлеста. В любом случае, ОТО допускает безмассовые точечные частицы, так что вы можете просто подумать об этом.)

Оповещение о путанице

Обратите внимание, что когда я сказал «см.» выше, я имел в виду именно это . Это описание наблюдений электромагнитных явлений на Земле. Когда говорят о замедлении времени в теории относительности, возникает много путаницы.

Посмотрите на этот пример. Каждая часть рассуждений, которые я провел выше, в равной степени применима к наблюдателям, которые удаляются от вас в пространстве-времени Минковского , где$z>0$. Это приводит вас к выводу, что когда инопланетянин удаляется от вас на космическом корабле в плоском пространстве, вы видите его в замедленной съемке.

Но вы могли бы провести ту же дискуссию с инопланетянином, приближающимся к вам в пространстве-времени Минковского, с$z<0$. В этом случае вы бы сделали вывод, что видите инопланетянина ускоренным. Но мы оба знаем, что так быть не может, не так ли? Разве мы не узнали, что время идет медленнее, когда система движется относительно нас?

Различные значения замедления времени

Чтобы прояснить эту путаницу, давайте будем немного более формальными. Начнем с инерциальной системы отсчета$(t,x)$в пространстве Минковского (нам нужно только 1+1 измерение). Попросите наблюдателя проследить мировую линию, заданную$x = f(t)$. Тогда замедление времени — это утверждение, что

$$\int_{t_0}^{t_1} dt \sqrt{\eta_{\mu\nu}{\dot x(t)}{\dot x(t)}} < t_1 - t_0,$$ или, говоря словами, что на траектории между событиями прошло собственное время$(t_0,x(t_0))$и$(t_1,x(t_1))$меньше, чем разница координатных времен $t_1-t_0$.

Хорошо, но помните, что координаты мало что значат в теории относительности, и вы должны быть осторожны при их интерпретации. Если вы не подключите их к какой-то независимой от координации вещи, вы рискуете попасть в беду.

Например, в парадоксе близнецов у вас есть Боб, покоящийся в начале координат, и Алиса в своей ракете, которая стартует в начале координат и возвращается к Бобу. Теперь у нас есть две мировые линии, которые пересекаются дважды, и мы можем спросить: как соотносятся собственные времена на мировых линиях Алисы и Боба? Боб находится в начале инерциальных координат, поэтому его собственное время — это просто разница во времени в координатах, т. е. правая часть приведенного выше уравнения. Итак, теперь мы можем придать операциональное значение замедлению времени, не обращаясь к координатам: когда Алиса и Боб встречаются снова, часы Алисы тикают меньше раз, чем часы Боба.

Но означает ли это, что Боб видит, как Алиса движется в замедленном темпе? Нет. Утверждение выше относится к сравнению двух событий, которые происходят, когда мировые линии Алисы и Боба встречаются, в то время как Боб видит , это касается только событий вдоль мировой линии Боба. Точнее, речь идет о событиях, когда фотоны, покидающие Алису, пересекают мировую линию Боба. Итак, чтобы ответить на вопрос, что видит Боб, мы рассмотрим приведенное выше обсуждение с красным смещением. Боб видит Алису с красным смещением на некоторое время (и, следовательно, в замедленной съемке) и с синим смещением к концу путешествия. Смотрите мой ответ здесь для более подробной информации.

Космологическое время

Итак, у нас есть две разные концепции замедления времени. Какая из них лучше? Это зависит от приложения. Обратите внимание, что вопрос о сравнении часов не относится к удаляющимся галактикам.

Обратите внимание, что ваш вывод, что$d\tau = dt$для всех сопутствующих наблюдателей абсолютно верно. В метрике FLRW существует система координат, так что координата времени равна собственному времени большинства галактик. Это также координата, в которой большинство галактик находится в покое. Однако, чтобы заниматься астрофизикой, вам нужно перевести эти факты в то, что вы можете наблюдать с Земли. Что ж, расстояние между галактиками (измеряемое временем пролета фотона) увеличивается, свет от галактик смещается в красную сторону, и далекие астрофизические явления видны в замедленном темпе.

Космологическое красное смещение можно понимать в ОТО как увеличение длины волны фотона с расширением пространства, но, насколько я понимаю, космологическое замедление времени — это другое явление.

Из процитированного материала следует, что Нед Райт использует гравитационное замедление времени как еще один термин для гравитационного красного смещения. В лучшем случае он, кажется, рассматривает одно и то же как разные способы сказать одно и то же. Из первой цитаты

замедление времени является следствием стандартной интерпретации красного смещения: сверхновая, распад которой занимает 20 дней, при наблюдении при красном смещении z = 1 будет казаться, что для распада потребуется 40 дней.

Где он говорит, что замедление времени — это интерпретация красного смещения.

Модель усталого света не предсказывает наблюдаемое замедление времени кривых блеска сверхновых с большим красным смещением.

Который он поддерживает графиком с красным смещением (z) в качестве горизонтальной оси.

В метрике Шварцшильда есть гравитационный потенциал и замедление времени можно считать функцией потенциала. Но у метрики FLRW нет потенциала. Итак, по этой аналогии, как вы указали, в космологическом пространстве-времени нет гравитационного замедления времени. Вы можете, конечно, изменить значение термина между пространством-временем, как, кажется, делает Райт. Но при этом те же самые правила не применяются.