Однородность пространства

Гиперболическое пространство определяется ограничением

$$t^2-\vec{x}^2=1 \quad \textbf{(1)},$$ где мы думаем $t$как временная координата и $\vec{x}=(x,y,z)$как пространственная координата. Это пространство однородно и изотропно в пространственных координатах, что вы и пытаетесь доказать.

изотропия

Интуитивно изотропия означает, что из начала координат пространство выглядит одинаково во всех направлениях. Формально это означает, что пространство инвариантно относительно вращений в пространстве, поскольку вращения могут отображать любое направление в любое другое направление. По определению поворот — это линейное преобразование пространственных координат, которое оставляет$\vec{x}^2 = x^2+y^2+z^2$инвариантный или неизменный. Следующие три матрицы представляют собой вращения вокруг$x$,$y$, и$z$оси соответственно. Каждое вращение может быть записано как произведение этих матриц.

$$R_x(\theta) = \left[ \begin{array} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 &\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{array} \right]$$

$$R_y(\theta) = \left[ \begin{array} \ \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\theta) & 0& \cos(\theta) \\ \end{array} \right]$$

$$R_z(\theta) = \left[ \begin{array} \ \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

Где подразумевается, что эти матрицы действуют на вектор$\vec{x}=\left[x,y,z\right]^T$. Чтобы расширить определение этих операторов, чтобы они действовали на трехмерное подпространство нашего пространства четырех векторов$x^\mu=[t,x,y,z]^T$мы используем расширенную матрицу ниже, оставляя временную составляющую в покое,

$$\left[ \begin{array} \ 1 & \vec{0}^T \\ \vec{0} & R(\theta) \\ \end{array}\right]$$

Здесь элементарно увидеть, что это преобразование оставляет квадратичную форму$t^2-\vec{x}^2$неизменен, так как преобразование не меняет значение$t$или$\vec{x}^2$.

Однородность

Теперь мы хотим установить, что гиперболическое пространство однородно. Интуитивно это означает, что пространство одинаково во всех местах. Если мы сможем показать, что пространство изотропно, если смотреть с любой точки, мы установим однородность. Математически это означает, что нам нужно показать, что каждая пространственная координата может быть сопоставлена ​​с началом координат. Итак, нам нужно найти преобразование, которое оставляет$t^2-\vec{x}^2$инвариант и карты$\vec{x}\rightarrow \vec{0}$.

Для начала предположим, что у нас есть$\vec{x} = \vec{x}_0=(x_0,y_0,z_0)$. Начнем с поворота вектора так, чтобы он был параллелен$x$ось. Следующее преобразование выполнит это,

$$\frac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}\sqrt{y_0^2+z_0^2}} \left[\begin{array} \ x_0 & \sqrt{y_0^2+z_0^2} & 0 \\ -\sqrt{y_0^2+z_0^2} & x_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & y_0 & z_0 \\ 0 & -z_0 & y_0 \end{array}\right] \left[\begin{array} \ x_0 \\ y_0 \\ z_0 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array} \ \sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right]$$

Теперь мы можем сопоставить пространственную координату с нулем с помощью бустинга. Следствием этого будет изменение$t$координата четырех векторов. Поскольку$y$и$z$координаты обе$0$из-за вращения мы будем явно записывать преобразование только в двух измерениях с ненулевыми элементами$t$и$x$.

$$\left[ \begin{array} \ \cosh(\psi) & \sinh(\psi) \\ \sin(\psi) & \cosh(\psi) \end{array} \right] \left[ \begin{array} \ t_0 \\ \vert \vec{x}_0 \vert \end{array} \right] = \left[ \begin{array} \ \cosh(\psi)t_0+\sinh(\psi)\vert \vec{x}_0 \vert \\ \sinh(\psi) t_0 + \cosh(\psi)\vert \vec{x}_0 \vert \end{array} \right]$$

Мы видим, что мы можем сделать последнюю пространственную координату равной нулю, если

$$\sinh(\psi) = -\frac{\vert \vec{x}_0 \vert}{\sqrt{t_0^2 - \vec{x}_0^2 }} \qquad \cosh(\psi) = \frac{t_0}{\sqrt{t_0^2-\vec{x}_0^2 }},$$ что заведомо возможно для реальных значений $\psi$пока $\vec{x}_0^2 < t_0^2$что гарантируется условием $t^2=1+x^2$.

Итак, мы показали, что каждую точку в пространстве можно сопоставить с началом координат.