Определение границ для тройного интеграла?

Мне нужна помощь с проблемой тройной интеграции. Мне не нужна помощь в интеграции этой штуки, мне просто нужна помощь в настройке фактического интеграла(ов). В частности, я не знаю, как определить, каковы границы.

По сути, у нас есть 3D-пончик. Задача говорит о том, что мы можем смоделировать бублик как тор с центром в начале координат (0,0,0) с внешним радиусом R=4 и внутренним радиусом r=2. Точки (x,y,z) внутри тора описываются следующим условием:

Ссылка на уравнение

Здесь с — радиус от начала координат до центра торической трубки (поэтому я думаю, что он равен 3), а — радиус кольцевой трубки (поэтому я думаю, что он должен быть равен 1), поперечное сечение кольцевой трубки это круг.

Мне нужно рассчитать объем пончика после 2 разрезов. Первый разрез происходит параллельно оси x при y = -3, а затем параллельно оси y при x = 1.

Пока что я установил следующий интеграл (в полярных координатах), который, как мне кажется, представляет собой объем всего пончика:

Интегральное уравнение

Но я не знаю, как вычесть сокращения? Я предполагаю, что мне нужно еще два интеграла, которые нужно вычесть из всего объема, но я не могу это настроить. Кто-нибудь может помочь? Является ли объем, который у меня есть, правильным до сих пор?

Ответы (1)

У вас проблема с порядком: ограничения на г интеграл зависит от р , и поэтому это должно быть сделано там, где р определено. Другими словами, интеграл равен

∫ 0 2 π ∫ 2 4 ∫ − а 2 − ( р − с ) 2 а 2 − ( р − с ) 2 р г г г р г θ

И вы правы, что с "=" 3 и а "=" 1

Но как отмечалось в комментариях, такой подход плохо работает с разрезами. Проблема в том, что разрезы плоские, что приводит к сложным пределам интегрирования для р и/или θ , что сведет на нет преимущества перехода к цилиндрическому представлению ("полярные" координаты находятся на плоскости - трехмерные аналоги либо "цилиндрические", как вы здесь используете, либо "сферические").

Смотрим на срезы. Первый на самолете у "=" − 3 (который автоматически параллелен оси x и оси z). Эта плоскость касается «центрального кольца» тора. Другой самолет Икс "=" 1 , который проходит через отверстие. Обратите внимание, что эти две плоскости встречаются внутри тора. Чтобы настроить как интеграл в Икс , у , г , необходимо учитывать, что при заданных значениях Икс , вообще есть два отдельных диапазона значений для у которые нужно интегрировать, и наоборот. Способ справиться с этим состоит в том, чтобы разбить тор на квадранты и работать с каждым квадрантом отдельно. В каждом квадранте есть только один диапазон для Икс или у быть интегрированным. Мы также можем сделать то же самое для г , ограничивая внимание г ≤ 0 и г ≥ 0 в отдельности. Но в данном случае геометрия симметрична, поэтому мы подберем одинаковый объем с обеих сторон. Таким образом, мы можем вычислить только г ≥ 0 , затем удвойте его, чтобы получить весь объем.

Уравнение поверхности тора:

г 2 + ( Икс 2 + у 2 − 3 ) 2 "=" 1
Таким образом, мы можем настроить интегрирование по всему первому квадранту как
2 ∫ 0 4 ∫ 0 16 − Икс 2 ∫ 0 1 − ( Икс 2 + у 2 − 3 ) 2 г г г у г Икс

После разрезания для каждого квадранта имеем:

  • Квадрант 1: 0 ≤ Икс ≤ 1 , 0 ≤ у

2 ∫ 0 1 ∫ 0 16 − Икс 2 ∫ 0 1 − ( Икс 2 + у 2 − 3 ) 2 г г г у г Икс

  • Квадрант 2: Икс ≤ 0 , 0 ≤ у

2 ∫ − 4 0 ∫ 0 16 − Икс 2 ∫ 0 1 − ( Икс 2 + у 2 − 3 ) 2 г г г у г Икс

  • Квадрант 3: Икс ≤ 0 , − 3 ≤ у ≤ 0

2 ∫ − 4 0 ∫ − 3 4 − Икс 2 ∫ 0 1 − ( Икс 2 + у 2 − 3 ) 2 г г г у г Икс

  • Квадрант 4: 0 ≤ Икс ≤ 1 , − 3 ≤ у ≤ 0

2 ∫ 0 1 ∫ − 3 4 − Икс 2 ∫ 0 1 − ( Икс 2 + у 2 − 3 ) 2 г г г у г Икс

The г интеграция проста, но для у и Икс интеграции, вам понадобятся некоторые тригонометрические замены.

ХОРОШО. Если приведенный выше интеграл описывает объем всего пончика, то мне все равно нужно рассчитать, сколько пончика осталось после удаления 2 кусочков. Первый удаленный кусок параллелен оси x при y = -3, а второй параллелен оси y при x = 1. Имеет ли это смысл?
Ваши «срезы» определяются с точки зрения Икс и у , поэтому у вас есть два варианта: переписать интеграл в терминах xyz или выяснить, как можно определить разрезы в терминах р и θ .
@JohnAlberto - я опубликовал это поздно вечером, прежде чем лечь спать. Извините, что я как-то не заметил, что вы описали порезы. Видимо, я пропустил этот абзац, не заметив его. Я исправлю свой пост позже, когда у меня будет больше времени. nukeguy прав - с этими сокращениями вы не сможете выразить интеграцию с точки зрения Икс , у , г , или, возможно, получить полный объем из этого интеграла, а затем выразить разрезы через Икс , у , г .
Спасибо nukeguy и Полу. Я понимаю, что было бы проще просто решить это с точки зрения x и y, однако я не смог понять это. Думаю, чтобы выразить разрезы в полярных координатах, мне нужно использовать уравнения x=pcos(theta) и y=psin(theta), но я не смог понять их графически.
@JohnAlberto - я обновил свой ответ обсуждением того, как настроить интеграл для Икс , у , г .
Определение границ для тройного интеграла?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v