Падение числовой плотности nnn с масштабным коэффициентом a(t)a(t)a(t) для релятивистского вида частиц в равновесии?

Основным принципом, который полезен для решения проблемы, о которой вы говорите, является сохранение энтропии. В тепловом равновесии сопутствующая энтропия сохраняется, и это можно использовать, чтобы выяснить, как изменяется температура при расширении Вселенной.

Поскольку плотность энтропии релятивистских видов обычно доминирует над общей энтропией, полезно определить полную энтропию с точки зрения эффективного числа релятивистских степеней свободы (для энтропии),$g_{*\text{S}}$

$$\begin{equation} s_\text{tot} = g_{*\text{S}} \frac{2 \pi^2}{45}T^3, \end{equation}$$ где $$\begin{equation} g_{*\text{S}} = \sum_{\text{bosons}} g_i \left(\frac{T_i}{T}\right)^3 + \frac{7}{8} \sum_{\text{fermions}} g_i \left(\frac{T_i}{T}\right)^3, \end{equation}$$ где $T$— температура нагревательной ванны, и мы допустили возможность того, что некоторые релятивистские виды отделились от тепловой ванны и имеют другую температуру, $T_i$. Заметим, что здесь мы также предположили, что химические потенциалы пренебрежимо малы.

Предполагая, что плотность сопутствующей энтропии постоянна во времени, получаем

$$\begin{equation} \frac{d }{d t} \left(s a^3\right) = 0.\tag{1} \end{equation}$$ Это означает, что мы можем напрямую связать температуру, $T$, и коэффициент масштабирования, $a$ $$\begin{equation} T \propto \frac{g_{*\text{S}}^{-1/3}(T)}{a}.\tag{2} \end{equation}$$

Итак, мы видим, что пока число релятивистских степеней свободы,$g_{*\text{S}}$, не меняется, то имеем$T \sim 1/a$, и ваши (1) и (2) совместимы.

Если число релятивистских степеней свободы изменится, то ваше уравнение (2) больше не работает. Это связано с тем, что тепло либо добавляется, либо отнимается от нагревательной бани, увеличивая или уменьшая сопутствующее количество частиц любого данного вида.

Однако (1) всегда будет верным, пока вид находится в термодинамическом равновесии (без химического потенциала).