Передаточная функция: попытка понять анализ Лапласа этой схемы

Могу ли я предложить вам начать с упрощения двух резисторов в один резистор. Я предлагаю это, потому что это намного упрощает математику, и я думаю, что у вас есть ошибка в вашей окончательной формуле. Итак, источник напряжения снижается с 10 вольт до 9,09 вольт последовательно с сопротивлением 90,90 Ом за счет стандартных теорий схемы.

Тогда это имеет стандартную формулу: -

И$\zeta= \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$

Значение R — это новое пересчитанное значение 90,9 Ом. Чтобы предложить немного больше помощи,$\omega_n$- собственная резонансная частота фильтра и$\zeta$называется коэффициентом демпфирования (также равным обратной величине 2Q).

Теперь, если вы хотите увидеть, как это выглядит, вы можете использовать этот онлайн-калькулятор и вставить значения: -

Резонанс возникает на частоте около 503 Гц, а пик отклика составляет около 11 дБ. Цепь Q составляет около 3,5.

Но не забывайте, что существует общее затухание (из-за того, что я просто объединил два резистора в один резистор), поэтому формулы умножаются на 0,909.

Я не использовал ваши уравнения, потому что вижу, что в полученной вами окончательной формуле есть ошибка.

Самый простой способ определить эту передаточную функцию — использовать методы быстрых аналитических схем или FACT . В этих методах вы рассматриваете схему в различных условиях, чтобы определить ее постоянные времени. Это приведет вас к так называемому низкоэнтропийному формату, в котором вы должны увидеть усиление, полюса и нули, если они есть.

В вашей схеме есть два энергоаккумулирующих элемента: конденсатор$C_1$и индуктор$L_2$. Поскольку они имеют независимые переменные состояния, это схема 2-го порядка. Таким образом, знаменатель$D(s)$должно подчиняться следующему выражению:$D(s)=1+b_1s+b_2s^2$. Из этого выражения можно его переработать и привести к каноническому виду$D(s)=1+\frac{s}{\omega_0Q}+(\frac{s}{\omega_0})^2$.

Мы начинаем с$s=0$. Перерисуйте свою схему, в которой катушка индуктивности заменена на короткое замыкание (его импеданс равен$sL_2$который уменьшается до 0), а конденсатор разомкнут (его импеданс равен$\frac{1}{sC_1}$и бесконечен при постоянном токе). Схема выглядит так:

По постоянному току усиление$H_0$представляет собой простой резистивный делитель:$H_0=\frac{R_2}{R_1+R_2}$. Теперь уменьшите источник возбуждения до 0 В: замените$V_{in}$путем короткого замыкания и «посмотреть» соединительные клеммы$L_2$и$C_1$в то время как второй элемент находится в состоянии постоянного тока (разомкнутая крышка и закороченная катушка индуктивности). В первом случае для$\tau_1$Понимаете"$R_1||R_2$что подразумевает постоянную времени, равную$\tau_1=C_1(R_1||R_2)$. Сделайте то же самое для$\tau_2$с привлечением$L_2$и вы видите бесконечное сопротивление, ведущее к 0-секундной постоянной времени. Теперь установите конденсатор в его высокочастотное состояние (короткое замыкание) и «увидьте» сопротивление, предлагаемое$L_2$терминалы в этом режиме:$\tau_{12}=\frac{L_2}{R_1||R_2}$. Теперь вы можете рассчитать$D(s)=1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2\tau_1\tau_{12}$и перепишите его в каноническую форму, приведенную ниже:

Теперь вы можете определить то же самое выражение, используя классический подход грубой силы с моделью, эквивалентной Тевенину. Здесь нет ничего плохого, но а) это, вероятно, будет сложное упражнение, б) вы можете делать ошибки - я бы : ) и в) вам придется вложить больше энергии, чтобы получить каноническую форму, которую я дал. В этой форме у вас есть резонансная частота \f_0\$, установленная на 503,3 Гц, усиление по постоянному току -0,83 дБ и пиковое значение 10,8 дБ. Это подтверждает снимок ниже:

ФАКТЫ привели вас сразу к нужной вам компактной форме, не написав ни строчки алгебры, просто просматривая простые наброски, которые вы проверяете. Если вы допустили ошибку, просто исправьте виновный рисунок и обновите постоянную времени. Если вы решаете передаточные функции независимо от того, используете ли вы пассивные или активные источники, то ФАКТЫ непревзойденны!