Пересечение доменных стен

Я читал эту статью ( О формах доменов и процессах в суперсимметричных теориях ). В абзаце о пересечении доменных стен (абзац 4 , страница 7 ) авторы говорят:

В теории одного поля известно, что пересечение доменных стенок неустойчиво

Они объясняют это следующим образом:

Действительно, конфигурация, показанная на рис. 2а, имеет поступательные нулевые моды, форма которых задается градиентом поля. Так как в плоскости есть направления, где поле приближается к одним и тем же значениям на обеих бесконечностях, то составляющая градиента в таком направлении обязательно равна нулю. Таким образом, нулевая мода не может быть самой нижней в спектре, и существует отрицательная мода, приводящая к разделению стенок.

Итак, у меня есть теория одного скалярного поля в 2 + 1 с потенциалом мексиканской шляпы: В "=" λ 4 ( ф 2 − в 2 ) 2 .

Я рассматриваю конфигурацию (пересечение доменных стенок) с граничными условиями:

ф г ( + ∞ , + ∞ ) "=" − в
ф г ( + ∞ , − ∞ ) "=" в
ф г ( − ∞ , + ∞ ) "=" в
ф г ( − ∞ , − ∞ ) "=" − в
Здесь ф г удовлетворяет стационарному уравнению движения (напомним, что ф ˙ "=" 0 ):

Δ ф г − ∂ В ∂ ф ( ф г ) "=" 0.

Я считаю небольшое возбуждение более ф г : ф ~ "=" ф г + ф . После линеаризации я получаю следующее уравнение ( ф "=" е я ю т ф ю ( Икс 1 , Икс 2 ) ):

(1) [ − Δ + ∂ 2 В ∂ ф 2 ( ф г ) ] ф "=" ю 2 ф
.

Я нашел нулевые моды : его производная по направлению : ф 0 ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" ( ∇ ф , н ) . Он удовлетворяет уравнению ( 1 ) с ю "=" 0 .

Теперь я могу считать направления по "диагоналям", на их концах поле принимает одинаковое значение в или − в соответственно (см. рис. 2 на стр. 10 в файле). Значит, на этих диагоналях есть точка, где ф 0 "=" 0 , как говорят авторы.

Но я не могу понять последнее предложение их объяснения: Как существование такой точки (где ф 0 "=" 0 ) означает, что у нас также есть отрицательные моды? Можете ли вы объяснить мне это? Заранее спасибо.

PS. Я приму и другие подходы, чтобы показать существование отрицательных мод (и, следовательно, нестабильность такой конфигурации).

Ответы (2)

В одномерном случае у вас есть теорема о колебаниях: н -й уровень имеет н -нули. Как частный случай основное состояние не имеет нулей. Он не обобщается на случай нескольких измерений, однако все еще существует теорема о том, что основное состояние невырождено и не имеет нулей.

Таким образом, наблюдение, что мода Голдстоуна где-то исчезает, означает, что это не основное состояние. Следовательно, есть некоторые моды с более низким (т.е. отрицательным) собственным значением, отсюда и неустойчивость.

Вы сказали: «Однако существует теорема о том, что основное состояние невырождено и не имеет нулей» — можете ли вы дать ссылку?
Ну, я могу дать вам ссылку только для потенциалов, которые идут к В ( р → ) | | р → | → ∞ → + ∞ - ты можешь найти это в Риде, Саймон. Методы современной математической физики, том 4. Боюсь, что в настоящий момент я сам не знаю, могут ли быть какие-то лазейки для случая с непрерывным спектром (типа вы положили свою систему в коробку и при выключении регулятор первого уровня переходит в основное состояние)

Поскольку я не могу комментировать посты, позвольте мне сделать несколько замечаний в этом посте. Надеюсь, они могут быть шагами в правильном направлении.

1) Если ф 0 "=" 0 , затем ф ~ "=" 0 означает, что ваше возмущение столь же велико, как ф г . Для меня это сделало бы недействительным использование теории возмущений.

2) ф г предположительно гладкий, однако граничные условия заставляют его обращаться в нуль по крайней мере в некоторых точках. Теория возмущений вокруг этих точек, по крайней мере, сложна (насколько я понимаю). Опуская эту деталь и глядя на ваше уравнение (1), я думаю, что можно использовать этот факт, чтобы показать существование отрицательных значений ю 2 , то есть нестабильность.

Пересечение доменных стен
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v