Переводы и теорема Нётер

Перевод$x^\nu \to x^\nu - \epsilon^\nu$соответствует бесконечно малому преобразованию полей,

$$\phi \to \phi + \epsilon^\nu \partial_\nu \phi$$

поскольку мы выполняем активное , а не пассивное преобразование. Лагранжиан преобразуется как

$$\mathcal{L}\to \mathcal{L}+\epsilon^\nu \partial_\nu \mathcal{L}$$

заменив$\phi$в лагранжиан. Обратите внимание, что изменение производится с точностью до полной производной, и, следовательно, теорема Нётер применима к симметрии. Сохраняющаяся плотность тока определяется выражением

$$j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}X(\phi)-F^\mu(\phi)$$

где$X=\delta\phi$и$F^\mu$таков, что$\partial_\mu F^\mu=\delta \mathcal{L}$бесконечно мало. Для нашего случая мы получаем симметричный тензор энергии-импульса (аналогичный тензору общей теории относительности),

$$T^\mu_\nu=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - \delta^\mu_\nu \mathcal{L}$$

где дельта Кронекера поднята с помощью метрики Минковского. Текущий удовлетворяет,$\partial_\mu T^{\mu}_\nu = 0$, и соответствующий заряд Нётер,

$$E=\int \mathrm{d}^3 x \, T^{00}$$

- полная энергия системы, тогда как

$$P^i = \int \mathrm{d}^3 x \, T^{0i}$$

это$i$-я компонента полного импульса поля, где$i=(x,y,z)$только. Предостережение : тензор энергии-импульса, полученный по теореме Нётер, не всегда симметричен и может потребовать добавления члена , который удовлетворяет уравнению непрерывности и обеспечивает симметрию индексов.

---

Альтернативный метод

Напомним, чтобы получить уравнения поля Эйнштейна в общей теории относительности, мы можем варьировать действие Эйнштейна-Гильберта,

$$S\sim \int \mathrm{d}^4 x \, \sqrt{-g} \, \left( R + \mathcal{L}\right)$$

Точно так же в квантовой теории поля мы можем преобразовать нашу метрику Минковского в общий метрический тензор, тем самым заменив кинетический член лагранжиана ковариантными производными. С точностью до некоторых констант тензор энергии-импульса имеет вид

$$T^{\mu\nu} \sim \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial (\sqrt{-g}\mathcal{L})}{\partial g^{\mu\nu}}$$

оценивается в $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$, именно это определение мы применяем при получении уравнений поля Эйнштейна для общей теории относительности.