Перспектива золотой рыбки

Составная система линз Fish Bowl/Fish Eye

Чаша образует сложную систему линз с рыбьим глазом. Во-первых, я предположу, что у нас есть следующие показатели преломления:

$$n_{\text{air}}\\ n_{\text{glass}}\\ n_{\text{water}}.$$ Обычно $n_{\text{air}} \approx 1$, $n_{\text{glass}} \approx 1.5$, и $n_{\text{water}} \approx 1.33$, но я буду работать над общей проблемой здесь. Для простоты я приму геометрическую оптику первого порядка в параксиальном приближении. Если вам нужен более надежный ответ, эту систему можно смоделировать и проанализировать в программе оптической трассировки лучей, такой как Zemax или Code5.

Помимо показателей преломления, показанных на рисунке ниже, у нас есть следующие переменные:$t_1$- расстояние от объекта до первой сферической поверхности раздела стекла с радиусом кривизны$r_1$,$t_2$- расстояние от границы раздела стекла до сферической поверхности раздела стекло/вода с радиусом кривизны$r_2$, и наконец$t_3$- расстояние от границы раздела стекло/вода до передней главной плоскости глаза рыбы. Обратите внимание, что зеленый цвет обозначает стекло, а синий цвет обозначает воду.

Будут использоваться следующие уравнения гауссовой оптики:

$$\phi = \frac{n_2-n_1}{r}\\ \phi_{\text{tot}} = \phi_1 + \phi_2 - \tau\phi_1\phi_2\\ f_R' = n_{\text{water}}f_e$$ где $\phi$мощность одной поверхности, $\phi_{\text{tot}}$мощность двух объединенных поверхностей, разделенных приведенным расстоянием $\tau = \frac{t}{n}$, и $f_e = \frac{1}{\phi}$- эффективное фокусное расстояние.

Первым шагом является расчет мощности интерфейса воздух/стекло и мощности интерфейса стекло/вода:

$$\phi_1=\frac{n_{\text{glass}}-n_{\text{air}}}{r_1}\\ \phi_2=\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{r_2}$$

Это подразумевает, что:

$$\phi_{\text{3}}=\frac{n_{\text{glass}}-n_{\text{air}}}{r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{r_2}-\frac{t_2}{n_{\text{glass}}}\cdot\frac{(n_{\text{glass}}-n_{\text{air}})(n_{\text{water}}-n_{\text{glass}})}{r_1 r_2}\\ =\frac{n_{\text{glass}}-1}{r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{r_2}-\frac{r_1-r_2}{n_{\text{glass}}}\cdot\frac{(n_{\text{glass}}-1)(n_{\text{water}}-n_{\text{glass}})}{r_1 r_2}\\ =\frac{n_{\text{water}}n_{\text{glass}}-n_{\text{water}}}{n_{\text{glass}}r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{n_{\text{glass}}r_2}\\ \approx \frac{0.443}{r_1}-\frac{0.113}{r_2}$$ с $t_2 = r_1-r_2$, причем в последней строке используются числовые значения показателей преломления, указанные выше.

Теперь у рыбьего глаза будет сила$\phi_{\text{fish}}$, поэтому мы можем снова использовать уравнения Гаусса:

$$\phi_{\text{tot}} = \phi_3 + \phi_{\text{fish}} - \frac{t_3}{n_{\text{water}}}\phi_3\phi_{\text{fish}}$$ Подключение $\phi_3$дает: $$\phi_{\text{tot}} = \frac{n_{\text{water}}n_{\text{glass}}-n_{\text{water}}}{n_{\text{glass}}r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{n_{\text{glass}}r_2} + \phi_{\text{fish}} - \frac{t_3}{n_{\text{water}}}\left(\frac{n_{\text{water}}n_{\text{glass}}-n_{\text{water}}}{n_{\text{glass}}r_1}+\frac{n_{\text{water}}-n_{\text{glass}}}{n_{\text{glass}}r_2}\right)\phi_{\text{fish}}$$ Что, вероятно, можно упростить, но я не собираюсь тратить на это время. Если мы подставим некоторые числовые значения, в том числе приведенные выше оценочные показатели преломления, мы можем получить ответ: $$r_1=100mm\\ r_2=97mm\\ t_2=3mm\\ t_3=97mm$$ соответствует аквариуму диаметром 200 мм (8 дюймов), рыба находится в центре, а толщина стекла составляет 3 мм. Я вычисляю следующие значения: $$\phi_1=0.0050/mm\\ \phi_2=-0.0018/mm\\ \phi_3=0.0033/mm\\ \phi_{\text{tot}}=0.0033+0.7619\cdot\phi_{\text{fish}}$$ Это означает, что эффективное фокусное расстояние сложной системы (аквариум + рыбий глаз) будет $$f_{e,\text{tot}}=\frac{1}{0.0033+0.7619\cdot\phi_{\text{fish}}}mm$$

Я нашел среднее фокусное расстояние для глаза золотой рыбки в

Роль хрусталика и стекловидного тела в рефракционных свойствах глаз трех линий золотых рыбок по Seltner et al (1989).

составляет около$3mm$. Тогда мы получаем

$$f_{e,\text{tot}}=\frac{1}{0.0033+\frac{0.7619}{3}}mm=3.89mm.$$

Что, если бы рыба была очень близко к стеклу, скажем$t_3=10mm$? Затем

$$\phi_{\text{tot}}=0.0033+0.9752\cdot\phi_{\text{fish}}=0.3284/mm,$$ т.е., $$f_{e,\text{tot}}=3.05mm.$$ или если рыба смотрит в другую сторону, т.е. $t_3 = 187mm$затем $$f_{e,\text{tot}}=5.56mm.$$

Вышеописанное — самый крайний случай. Каков эффект? Обратите внимание, что приведенные выше фокусные расстояния являются воздушными (или оптическими) эквивалентными длинами, а не фактическими фокусными расстояниями.

---

Эффект изменения фокусного расстояния

Большинство систем фокусировки (включая камеры и глаза) настроены таким образом, что фокусное расстояние не сильно меняется, а для удаленных объектов не требуется особой настройки для достижения фокусировки. Мы будем исходить из этого здесь (т. е. что фокальная плоскость, или система линз, или хрусталик изменяются таким образом, что основное фокусное расстояние остается неизменным для сохранения фокуса). Будем считать, что рыба может сосредоточиться на чем-то нормально только$10mm$прочь, это установит диапазон$z'$быть$3mm < z' < 4.3mm$.

Теперь нам нужно вычислить смещение главной плоскости комбинированной системы от главной плоскости исходного рыбьего глаза, используя:

$$\frac{d'}{n{\text{water}}} = -\frac{\phi_3}{\phi_{\text{tot}}}\frac{t_3}{n_{\text{water}}}\\ \implies d' = -\frac{\phi_3}{\phi_{\text{tot}}}t_3$$ выше мы предполагаем, что задняя главная плоскость системы «рыбий глаз» фактически находится в показателе преломления воды. Когда рыба в экстремале $f_{e,\text{tot}}=5.56mm$, затем $$d' = -3.39mm.$$ Когда рыба окажется в центре, то $$d' = -1.25mm.$$

Оригинальный рыбий глаз, эквивалентный воздуху, имел$f_{e,\text{fish}}=3mm$, а крайняя часть рыбы с одной стороны чаши изменила эффективное фокусное расстояние на$f_{e,\text{tot}}=5.56mm$. Предположим, что рыба смотрит на объект с$1000mm$прочь. Мы можем использовать уравнение линзы, чтобы получить разницу между двумя фокусными расстояниями.

$$\frac{1}{z'}=\frac{1}{z}+\frac{1}{3mm}\text{vs.}\frac{1}{z'}=\frac{1}{z}+\frac{1}{5.56mm}\\ \implies \frac{1}{z'}=-\frac{1}{1000mm}+\frac{1}{3mm}\text{vs.}\frac{1}{z'}=-\frac{1}{1000mm}+\frac{1}{5.56mm}\\ \implies z'=3.009mm\quad\text{vs.}\quad z'=5.59mm$$ что означает, что увеличения будут: $$m_{\text{fish}}=-0.003009\\ m_{\text{tot}}=-0.005591$$ Новое эффективное фокусное расстояние должно учитывать сдвиг в главной плоскости, фокальная плоскость будет располагаться $5.59mm-3.39mm=2.2mm$. Это приведет к тому, что рыба будет видеть объекты на расстоянии 1000 мм размытыми (расфокусированными) за пределами чаши, когда рыба находится у края чаши и смотрит через другую сторону чаши, потому что рыба не может сместить сетчатку на 2,2 мм. положение (фокус на бесконечность находится в положении 3 мм). Рыба могла бы начать видеть вещи, когда составная система $z'=3mm+3.39mm = 6.39mm$что соответствует $z \approx 43mm$, т. е. когда объекты находятся около $43mm$с передней главной плоскости в воздухе (я не знаю, будет ли это внутри или снаружи чаши в физическом пространстве, скорее всего, внутри, поэтому на самом деле это не может произойти).

А как насчет того, когда золотая рыбка находится в середине аквариума, т.е.$f_{e,\text{tot}}=3.89mm$? Потом что-то на расстоянии$1000mm$имеет$z'=3.91mm$, а фокальная плоскость находится на$2.66mm$от задней основной плоскости оригинальной системы «рыбий глаз». Рыба могла бы начать видеть вещи, когда составная система$z'=3mm+1.25mm = 4.25mm$что соответствует$z \approx 45mm$, почти как в крайнем случае.

В обоих случаях золотая рыбка, скорее всего, увидит объекты размытыми.

Если только золотая рыбка$20mm$от края, затем объекты ближе, чем примерно$122mm$можно увидеть без размытия. Если он подходит прямо к краю, то эффект минимизируется, и он, вероятно, может видеть довольно далеко.

Единственным странным эффектом изнутри чаши будет полное внутреннее отражение от границы стекло-воздух. Это то, что вызывает характерный эффект «рыбий глаз » при взгляде на границу раздела вода-воздух из-под воды, где вы видите полное$2\pi$стерадианы воздушного полупространства сосредоточены на меньшем диске на поверхности. В этом случае есть значительные искажения, но только для объектов вне воды.

Но наличие сферической чаши на самом деле уменьшило бы, а не усилило этот эффект, и рыба, находящаяся точно в центре чаши, не увидела бы ничего из этого, поскольку она смотрела бы перпендикулярно поверхности раздела стекло-воздух во всех направлениях.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Если стекло достаточно тонкое, эффект преломления будет пренебрежимо мал, так как угол преломления луча, входящего в стекло, и угол падения того же луча, выходящего из стекла, будут практически одинаковыми, и их эффекты нейтрализуются при применении Закон Снеллиуса дважды. Так что оптически это то же самое, что находиться внутри водной сферы, плавающей в пространстве. Допустим, эта сфера имеет радиус$r$, а мы издалека смотрим на границу раздела вода-воздух$x$.

Точка на сфере, которую мы видим$\varphi$градусов от нормали, будет видно под углом$\sin \theta = \frac{r}{x} \tan \varphi$от центра сферы, а угол между лучом с углом$\varphi$и нормаль к интерфейсу будет$\theta_3 = \varphi - \theta$. Тот же луч в воздухе будет иметь угол с нормалью, рассчитанный по закону Снеллиуса,$\sin \theta_1 = \frac{n_3}{n_1} \sin \theta_3$.

Если вы сделаете параксиальное приближение и возьмете приближения первого порядка для всех тригонометрических функций, вы в конечном итоге получите это, если смотреть под небольшим углом$\varphi$от нормали, вы на самом деле видите свет, идущий под углом$\varphi'$который можно рассчитать как:

$$\varphi' = \varphi (n - \frac{x}{r} n + \frac{x}{r})$$

где$n=\frac{n_3}{n_1} = 1.33$для воды.

Так что, если вы действительно приблизитесь к стеклу, вы увидите предметы снаружи меньше, чем они есть на самом деле, в несколько раз.$\frac{1}{n} = 0.75$, если вы находитесь в центре чаши, вы увидите все неискаженным, а если вы посмотрите через всю чашу, вы увидите предметы, увеличенные в несколько раз.$\frac{1}{2-n} = 1.5$.