Почему бы нам не проиллюстрировать траектории космических аппаратов поверх статических псевдопотенциальных поверхностей с нулевой скоростью?

Псевдопотенциал / эффективный потенциал для круговой ограниченной задачи трех тел представляет собой сумму гравитационного и центробежного потенциалов, ср . Рисунок 1.

$\uparrow$Рис. 1: Двумерная орбитальная плоскость с эквипотенциальными линиями и пятью точками Лагранжа . (Из Википедии .)

Главный недостаток связанного видео заключается в том, что в нем не упоминается роль силы Кориолиса . Из-за силы Кориолиса пробная масса$m$(без двигателя) будет дрейфовать вдоль (а не перпендикулярно) эквипотенциальных линий! ($\leftarrow$Уже один этот факт гарантирует, что псевдопотенциал по-прежнему физически актуален, ср. Заглавный вопрос ОП.) Дрейф часто накладывается на круговое движение с угловой скоростью$-2\Omega$, ср. Рис. 2.

$\uparrow$Рис. 2: Возможная подковообразная орбита вдоль эквипотенциальных линий.$\star$это Солнце, в то время как$\bullet$является Юпитер.

Вывод, явные формулы и дополнительную информацию см., например, в части III моего ответа Phys.SE здесь и моего ответа Space.SE здесь .

TL;DR: сила Кориолиса объясняет стабильность точек Лагранжа$L_4$&$L_5$, ср. например, этот пост Phys.SE.

Что такое псевдопотенциальная поверхность: график трехмерной функции.
Чем не является псевдопотенциальная поверхность: холмом, по которому катится мрамор.

Вся путаница вокруг этой вещи происходит из предположения, что это обычная трехмерная поверхность, которая будет вести себя именно так, как вы ожидаете, если вы бросите на нее шарик.

Вы можете сделать такое же бессмысленное предположение на обычном двумерном графике. Возьмем , к примеру, график скорости "Вояджера-2" . Вы также можете представить, как шарик катится по нему, получая от него всевозможные совершенно неправильные физические интерпретации, такие как «застревание в долинах с помощью гравитации» или «набирание большей скорости по мере того, как он катится вниз по склону от Солнца».

Люди привыкли, что 2D-графики так не работают. Что делает правдоподобным то, что псевдопотенциальная поверхность должна вести себя так на первый взгляд, так это то, что она обладает некоторыми схожими свойствами: «стоять на месте» требует пребывания на «плоском» месте. Движение «в гору» заставит вас замедлиться, движение «в гору» увеличит вашу скорость.

Почему бы нам не проиллюстрировать траектории космических кораблей поверх этих статических псевдопотенциальных поверхностей?

Мы не должны? Я думаю, что это отличный способ построить повторяющиеся траектории пролета и орбиты трех тел. Просто дайте понять, что это вращающаяся система отсчета . Вращающиеся кадры неинтуитивны, но также полезны. Возможно, было бы лучше снять некоторые обучающие видеоролики о вращающихся кадрах, чем делать (неправильные) видеоролики о предмете, требующем знаний о вращающихся кадрах?

Что на самом деле произойдет с этими тремя объектами?

Они будут двигаться (или два основных статичны), просто не так, как вы ожидаете, если это будет буквальный физический колодец. Объект будет двигаться в соответствии с [набором дифференциальных уравнений] вместо [знакомого набора дифференциальных уравнений].

Что произойдет с псевдопотенциальной поверхностью, как только они начнут двигаться?

Ничего, так как это идеализированная задача трех тел с круговым ограничением. Возможно, то, что вы ищете, является фактическим графиком потенциальной энергии системы двух тел? Это воронкообразный колодец для основного объекта, а меньший воронкообразный колодец вращается вокруг него («движется») для второстепенного объекта. И в отличие от псевдопотенциальной поверхности, в ней можно катать шарики!

Это столько же комментариев, сколько и ответов, но они дают несколько разных точек зрения.
[ Это было отредактировано на основе полезных советов от @uhoh. Предыдущий комментарий о сохранении полной энергии пробной частицы неверен. ]

1. Узоры Хладни (песок на виброплите).
При наличии двух больших масс на круговой орбите сохраняющейся величиной (родственной энергии) является интеграл Якоби . Интеграл Якоби E _J представляет собой сумму потенциальной энергии гравитации, потенциальной энергии центробежных сил и кинетической энергии (как видно во вращающейся системе отсчета). Графики квазипотенциала EP _{соответствуют} сумме двух потенциальных членов и не включают кинетическую энергию. Поскольку E _J для небольшой пробной частицы остается постоянным (сохраняется), кинетическая энергия (квадрат скорости) представляет собой разницу между фиксированным значением E _J и квазипотенциальной поверхностью E _P . Таким образом, при заданном значении E_J для частицы ее скорость можно найти как sqrt(E _J -E _P ). К сожалению, это скорость, а не скорость, поэтому она не помогает установить траекторию, но говорит нам кое-что о вероятности обнаружения частицы в определенном месте. Вероятность нахождения частицы в элементарном объёме пространства обратно пропорциональна её скорости (между прочим).

Это основа, благодаря которой возникают отчетливые узоры в песке на вибрирующей пластине, как это впервые подробно описал Эрнст Хладни . Песчинки попутно приобретают боковые скорости, пропорциональные величине колебаний в той или иной точке пластины. Эти скорости наименьшие в узлах колебательных мод. Вероятность обнаружения зерен наибольшая там, где их боковые скорости наименьшие, т.е. они проводят большую часть своего времени в колебательных узлах ( изображение ниже ).

В общем, движение нашей тестовой частицы будет хаотичным даже при наличии только двух больших масс. Частицы будут иметь максимальную квазипотенциальную энергию и наименьшую кинетическую энергию во вращающейся системе отсчета, когда они будут близки к точкам L4, L5. Самая низкая кинетическая энергия означает самую низкую скорость. Это означает, что частица имеет наибольшую вероятность быть обнаруженной вблизи L4, L5. Особенно это относится к частицам, значение E _J которых точно равно максимальной квазиэнергии E _P (которая достигает своего максимума при L4, L5). Их скорость уменьшится до нуля по мере приближения к точкам Лагранжа, и поэтому они почти наверняка будут там найдены .

2. Простое гармоническое движение.
В ситуациях, когда панетарная масса намного меньше центральной массы, точки L4, L5 все еще существуют, но силы от планетарной массы будут очень малы. В этом случае мы можем считать, что пробная частица находится на простой кепларианской орбите вокруг центральной массы. Предположим, что орбита планетарной массы круговая, как и орбиты L4, L5. Предположим, что наша пробная частица находится на той же орбите, что и L4 или L5, но слегка возмущена. Мы будем наблюдать его с вращающейся рамки, прикрепленной к L4 или L5.

Если возмущение производится в плоскости орбиты (все еще круговой), то будет казаться, что пробная частица колеблется вверх и вниз (перпендикулярно плоскости планетарной орбиты) в простом гармоническом движении с тем же периодом, что и период обращения.

Если возмущение производится до эксцентриситета (по-прежнему в плоскости), то пробная частица снова будет казаться движущейся с простым гармоническим движением вокруг точки Лагранжа. В этом случае из-за эффекта Кориолиса орбита будет представлять собой эллипс с отношением осей 2:1 (если возмущение больше, эллипс приобретает форму «фасоли»).

Таким образом, если смотреть со стороны вращающейся системы отсчета, прикрепленной к точке Лагранжа, очень небольшие возмущения от орбиты L4 или L5 приведут к тому, что частица будет совершать небольшие эллиптические орбиты вокруг L4 или L5 с тем же периодом. Однако это не кеплеровы орбиты. Это орбиты с простым гармоническим движением, например, когда центральная сила пропорциональна расстоянию (а не обратному квадрату), а потенциал квадратичен.

С этой точки зрения нет эквивалентной точечной массы в точках L4, L5. Вместо этого локально их можно рассматривать как центр сферы с постоянной плотностью массы без трения (темная материя!), внутри которой могут сохраняться эти простые гармонические орбиты. Требуемая плотность массы равна массе большого центрального объекта, деленной на объем сферы, которую окружала бы планетарная орбита, M/[(4/3)pi.R ³ ]. Это гарантирует, что период этих простых гармонических движений будет таким же, как период обращения точек Лагранжа.