Почему давление в атмосфере ведет себя экспоненциально?

Рассмотрим различия между морем и атмосферой. Атмосфера — это слой газа, а море — это слой (почти) несжимаемой жидкости. Мы можем использовать их свойства, чтобы вывести изменение давления с глубиной.

В обеих ситуациях нам необходимо сбалансировать силы давления воздуха (воды) и гравитации.

Сначала подумайте о воздухе. Поскольку воздух (приблизительно) является идеальным газом, плотность определяется выражением$\mu p / RT$где$\mu$средняя молярная масса воздуха. Сила давления воздуха на тонкую «пластинку» воздуха на высоте$z$с толщиной$\Delta z$и площадь$A$является$( p(z) - p(z + \Delta z) )A$, где up считается положительным. Сила тяжести равна произведению плотности на объем, или$- \left( \frac{\mu p g}{RT} \right) (A \Delta z)$. Баланс сил гласит

$$(p(z + \Delta z) - p(z))A = - \left( \frac{\mu p g}{RT} \right) (A \Delta z)$$ $$\frac{dp}{dz} = \frac{ p(z + \Delta z) - p(z) }{\Delta z} = -\frac{\mu p g}{RT}$$

в пределе как$\Delta z \to 0$. Потому что$dp / dz$пропорциональна$p$, имеем экспоненциальную зависимость,$p \propto \exp(-\frac{ \mu g z }{ RT })$.

Теперь рассмотрим воду. Так как вода несжимаемая жидкость, плотность везде постоянна, пусть она будет$\rho$. Тогда баланс сил показывает, что на глубине$z$,

$$(p(z) - p(z + \Delta z))A = - (\rho g) (A \Delta z) .$$

Обратите внимание на разницу в знаках: по соглашению мы пускаем$z$быть глубиной под поверхностью воды, в отличие от высоты над дном моря.

Таким образом, мы можем написать

$$\frac{dp}{dz} = \frac{ p(z + \Delta z) - p(z) }{\Delta z} = \rho g .$$

Поскольку производная постоянна, мы можем написать$p = p_0 + \rho g z$, который представляет собой линейный градиент.

Краткое содержание. Разница в типах градиентов давления возникает из-за того, что плотность в море (почти) постоянна, тогда как плотность линейно пропорциональна давлению в воздухе.

Газы сжимаемы; чтобы вес верхних слоев оказывал давление на газ; газ также будет иметь тенденцию к сжатию.

Это означает, что по мере того, как вы получаете более плотную атмосферу; вес увеличивается не только потому, что над ним больше жидкости; он также меняется, потому что чем больше жидкости над ним; тем больше плотность жидкости, так как она сильнее сжимается под действием веса. Все это относится к закону идеального газа .

Вода практически несжимаема при умеренном давлении, поэтому она не ведет себя таким образом и имеет только приблизительно линейный эффект гидростатического давления .

Молекулы азота и кислорода не связаны друг с другом и движутся независимо друг от друга. Их распределение по высоте определяется коэффициентом Больцмана:

$$P(E) \propto \exp\frac{mgh}{kT},$$ где $mgh$представляет собой гравитационную потенциальную энергию молекулы воздуха и $kT$тепловая энергия при температуре $T\approx 260$кельвин. Это экспоненциальное распределение находится в разумном согласии с барометрической формулой и масштабированием высоты атмосферы.

Молекулы воды слипаются. Гравитация действует на конденсированную жидкость как единое целое. Плотность высока и почти постоянна, потому что сжимаемость жидкости мала. С давлением в качестве веса материала, указанного выше, это дает линейное увеличение давления.