Почему монопольный оператор нарушает глобальную симметрию топологическим током?

Калибровочные теории часто снабжены «электрическими» и «магнитными» глобальными симметриями высшей формы. Связь таких теорий с электрически или магнитно заряженными источниками явно нарушает соответствующую симметрию (частично или полностью).

Позвольте мне сначала рассмотреть, как это работает для более знакомого случая$\mathrm{U}(1)$калибровочные теории в 4d. Итак, рассмотрим абелев калибровочное поле 1-формы$A$с напряженностью поля$F=\mathrm{d}A$на 4-м коллекторе$M$. Начните с чистой калибровочной теории, с действия

$$S \propto \int_M F \wedge \star F.$$

(На самом деле нам не нужно говорить о действии, но это может сделать вещи более прозрачными в простых примерах.) Уравнение движения и тождество Бьянки говорят, что

$$\mathrm{d} \star F = 0 \quad\text{and}\quad \mathrm{d} F = 0.$$

В квантовой теории это операторные уравнения. Это означает, что у нас есть два разных сохраняющихся тока в 2-форме.$j= F$и$\tilde j = \star F$, которые удовлетворяют$\mathrm{d} \star j = \mathrm{d} \star \tilde j=0$. Каждый из них является$\mathrm{U}(1)$1-форма глобальной симметрии, часто называемая «электрической» ($\mathrm{U(1)_E}$) и "магнитный" ($\mathrm{U(1)_M}$), соответственно. Они называются 1-формными симметриями, потому что заряженные объекты, линии Вильсона и линии 'т Хофта, поддерживаются на 1-многообразиях. (Тогда как для обычных 0-формных симметрий заряженные объекты являются локальными операторами). Вы можете думать о них как о мировых линиях пробных электрических зарядов и магнитных монополей. $\mathrm{U(1)_E}$и$\mathrm{U(1)_M}$сами заряды получаются интегрированием$\star j$и$\star \tilde j$над 2-сферами, соединяющими эти линии,$Q = \oint_{S^2} \star F$и$\tilde Q = \oint_{S^2} F$. Конечно, они всего лишь измеряют электрические и магнитные заряды частицы, мировую линию которой они окружают.

В этих переменных линия Вильсона просто принимает вид$W_q(C) = e^{iq\oint_C A}$. Симметрия электрической 1-формы соответствует инвариантности действия относительно сдвига$A \to A + \lambda$, где$\lambda$представляет собой плоское калибровочное поле$(\mathrm{d}\lambda = 0),$и ясно$W_q(C)$преобразуется под действием этой симметрии. Линия Вильсона вставляет источник в уравнение движения,$\mathrm{d}\star F = q \delta_C$. Линия 'т Хофта также является голономией двойственного калибровочного поля.$\hat A$, и симметрия магнитной 1-формы также соответствовала бы смещению$\hat A$плоским калибровочным полем, если мы запишем теорию в двойственных переменных. В терминах исходных переменных оператор 'т Хофта$H_m(C)$соответствует предписанию удалить$C$от$M$и требовать, чтобы$\oint_{S^2} F = 2\pi m$, где$S^2$представляет собой сферу, соединяющую$C$. Аналогично, оператор 't Hooft вставляет источник в идентификатор Бьянки,$\mathrm{d} F = 2\pi m \delta_C$.

До сих пор мы обсуждали чисто калибровочную теорию. Предположим теперь, что мы связываем его с электрически заряженной материей (скажем, с полем с зарядом 1). Заряженное вещество входит в уравнение движения как источник,$\mathrm{d} \star F = \star j_E$, и явно нарушает симметрию электрической 1-формы. Точно так же связывание теории с монопольным оператором явно нарушает симметрию магнитной 1-формы.

Надеюсь, теперь вы видите ответ на свой первоначальный вопрос. Авторы рассматривают трехмерную теорию с абелевыми калибровочными полями$b$и$\hat b$. Как всегда, в отсутствие магнитно заряженной материи тождества Бьянки подразумевают существование сохраняющихся токов.$\star \mathrm{d}b$и$\star \mathrm{d} \hat b$. Обратите внимание, что, поскольку мы находимся в трех измерениях, это обычные глобальные симметрии 0-формы. Итак, в теории есть два$\mathrm{U(1)}$обычные глобальные симметрии (обе «магнитные» на языке выше). Теперь они связывают теорию с монопольным оператором для$\hat b$. Это вводит магнитный источник в тождество Бьянки для$\mathrm{d}\hat b$, и явно нарушает соответствующий$\mathrm{U(1)}$симметрия.

(я не думаю$\phi^\dagger \mathcal{M}_{\hat b}$это опечатка. Они говорят, что$\mathcal{M}_{\hat b}$несет заряд один под$b$калибровочной симметрии и, следовательно, умножить на$\phi^\dagger$для создания калибровочно-инвариантного оператора.)