Почему мы требуем локальной калибровочной инвариантности?

Мои мысли по этому поводу несколько рассеяны, поэтому заранее извиняюсь.

Уравнения Максвелла калибровочно-инвариантны. Физические электрические и магнитные поля не зависят от того, используем ли мы$A_\mu$или$A_\mu+\partial_\mu\Lambda$. У нас есть свободный ЭМ-лагранжиан$\mathcal{L}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$из которых мы можем вывести уравнения Максвелла. Таким образом, имеет смысл калибровочно инвариантно и действие, вытекающее из этого лагранжиана.

Моя проблема возникает, когда мы соединяемся, чтобы иметь значение.

Возьмем лагранжиан для электромагнитных полей, связанных с материей;

Под$A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu\Lambda$член взаимодействия преобразуется как

Если игнорировать член полной производной, то инвариантность действия требует$\partial_\mu j^\mu=0$.

Как правило, это тот момент, когда в учебниках говорится, что мы можем найти$j^\mu$составлен из полей материи с использованием теоремы Нётер; для спинорных полей при глобальных$U(1)$преобразования, которые мы бы имели$j^\mu=\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi$.

Однако этот сохраняющийся ток достигается только тогда, когда поля материи находятся на внутренней поверхности, но мы (предположительно) требуем калибровочной инвариантности действия, даже когда поля находятся вне оболочки. (Пожалуйста, поправьте меня, если это неправильно). Если поля находятся вне оболочки, мы можем аннулировать полученный нами дополнительный член, потребовав, чтобы поля материи преобразовывались подходящим образом под действием локальных сил.$U(1)$трансформация. Затем мы можем обновить наше определение калибровочной инвариантности до локального$U(1)$преобразование полей материи и обычное преобразование электромагнитных полей.

Мой вопрос; Почему мы должны хотеть сделать это в любом случае? Даже если у нас есть дополнительный член$j^\mu\partial_\mu\Lambda$Уравнения Максвелла не затрагиваются, поэтому мы в первую очередь хотели добиться калибровочной инвариантности. С этой точки зрения дополнительный срок не является проблемой.

Теперь я должен признать, что мои классические знания EM немного заржавели, так что потерпите меня в этом следующем пункте. Очевидно, что спинорные уравнения движения не будут инвариантны относительно преобразования$A_\mu$но есть ли какая-то особая причина, по которой должно быть? Только потому, что 4-потенциал не является наблюдаемым в чистом ЭМ-секторе, обязательно ли он такой же, как и в спинорном секторе?

При написании этого поста мне тоже пришла в голову мысль; если мы допустим термин$j^\mu\partial_\mu\Lambda$появиться в лагранжиане тогда$\partial_\mu\Lambda$само становится динамическим полем. Я могу представить, что это может привести к проблемам с перенормируемостью (угадыванием), но я вижу более непосредственное последствие этого — невозможность взаимодействия; уравнение поля для$\partial_\mu\Lambda$является$j^\mu=0$, поэтому у нас нет взаимодействия. Мы могли бы, однако, утверждать, что поле$\Lambda$вместо$\partial_\mu\Lambda$, и в этом случае уравнение поля имеет вид$\partial_\mu j^\mu=0$.

Я признаю, что этот пост немного повсюду. Мои вопросы по существу сводятся к;

• Поскольку ток сохраняется только на оболочке, почему мы используем теорему Неотера для создания тока, который мы связываем с электромагнитным потенциалом?

• Даже если мы не удалим лишний термин, насколько мы облажались? Создает ли дополнительный член проблемы в отношении перенормируемости или полученные спинорные уравнения обладают свойствами, которые не согласуются с экспериментами? Мы могли бы просто перейти от глобальных преобразований спиноров к локальным, и все получилось бы прекрасно, но зачем нам это делать, кроме того, что локальные преобразования кажутся более общей альтернативой глобальным?