Почему не распространена инвариантная запись?

Question

Почему не распространена инвариантная запись?

innisfree

В принципе, можно записать величины явно инвариантным, а не ковариантным образом, например, в специальной теории относительности. Например, вместо того, чтобы писать просто $x^\mu$ , мы могли бы написать базис явно и попросить, чтобы базис преобразовывался противоположно компонентам,

Икс "=" {Икс}^{мю} е_{мю}^{(я)},

$x = x^\mu e_\mu^{(i)},$ такой, что

x

$x$ является инвариантным. Почему такое инвариантное обозначение не более распространено, например, в специальной и общей теории относительности? Работают ли математики с ковариантным языком? или инвариантный язык?

Не потому ли, что базис исчезает при сжатии, если базис ортонормирован? например

Икс (у) "=" {Икс}^{мю} е_{мю} у_{ν} е^{ν} "=" {Икс}^{мю} у_{ν} {дельта}_{мю}^{ν} "=" {Икс}^{мю} у_{мю}

$x(y) = x^\mu e_\mu y_\nu e^\nu = x^\mu y_\nu \delta^\nu_\mu = x^\mu y_\mu$

Тримок

Используется в дифференциальной геометрии. Например, у вас есть

1

$1$ -форма

ω = ω_{ν} d x^{ν}

$\omega=\omega_\nu dx^\nu$ , вектор

v = v^{μ} \partial_{μ}

$v = v^\mu \partial_\mu$ , где

d x^{ν}

$dx^\nu$ и

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ соответственно являются основой

1

$1$ -форма и векторы.

ω (v)

$\omega(v)$ комплексная величина (

1

$1$ -form являются двойственными количествами векторов), и у вас есть

ω (v) = ω_{ν} v^{μ} d x^{ν} (\partial_{μ}) = ω_{μ} v^{μ}

$\omega(v) = \omega_\nu v^\mu dx^\nu(\partial_\mu)=\omega_\mu v^\mu$ (потому что

d x^{ν} (\partial_{μ}) = δ_{μ}^{ν}

$dx^\nu(\partial_\mu) = \delta^\nu_\mu$ )

Ответы (2)

Почему не распространена инвариантная запись?

Используется в дифференциальной геометрии. Например, у вас есть $1$ -форма $\omega=\omega_\nu dx^\nu$ , вектор $v = v^\mu \partial_\mu$ , где $dx^\nu$ и $\partial_\mu$ соответственно являются основой $1$ -форма и векторы. $\omega(v)$ комплексная величина ( $1$ -form являются двойственными количествами векторов), и у вас есть $\omega(v) = \omega_\nu v^\mu dx^\nu(\partial_\mu)=\omega_\mu v^\mu$ (потому что $dx^\nu(\partial_\mu) = \delta^\nu_\mu$ )

Брайан Мотс · Answer 1

Физик напишет ваше первое уравнение $x^a = x^\mu e_\mu^a$ . Обозначение $x^a$ является инвариантным в вашей терминологии. $a$ является абстрактным индексом. Якобы это не должно рассматриваться как ранжирование набора числовых значений, а просто маркер, указывающий, что $x$ является вектором (т. е. тензором ранга 1,0). Аналогично для каждого $\mu$ , $e^a_\mu$ является вектором. Подробнее об абстрактной нотации индексов можно прочитать в википедии .

Wald - хорошая ссылка с этой нотацией. Я считаю, что это зависит от характера проблемы: 1. теоретические, более абстрактные задачи требуют манипулирования инвариантами, а введение координат часто приводит к путанице, 2. измерения, с другой стороны, требуют введения системы координат, что часто делается в качестве заключительного шага после формулировки теории.
Физики @auxsvr хотят подключиться к экспериментам? поэтому выберите инвариантную запись?
@innisfree Физическая теория разработана с точки зрения инвариантов, а эксперименты требуют измерений, отсюда и введение систем координат. Я не уверен, что ваши вопросы.

Qмеханик · Answer 2

Комментарии к вопросу (v5):

В общей теории относительности (ОТО) обозначение $x^{\mu}$ , $\mu=0,1,2,3,$ обычно обозначает некоторые (локальные) координаты (пространственно-временного) многообразия $M$ . Обратите внимание, что $x^{\mu}$ вообще не трансформируется как $(1,0)$ (контравариантный) тензор в том смысле, что
${Икс}^{' ν} "=" \frac{\partial {Икс}^{' ν}}{\partial {Икс}^{мю}} {Икс}^{мю} (\leftarrow Неправильно в общем!)$ $x^{\prime \nu}~=~\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}} x^{\mu} \qquad (\leftarrow\text{Wrong in general!} )$ при преобразованиях координат $x^{\prime \nu}=f^{\nu}(x)$ . Таким образом, в ОТО нет полезной физической концепции векторного базиса для лежащих в его основе локальных координат пространства-времени. [В специальной теории относительности (СТО) преобразования координат ограничены аффинными преобразованиями $x^{\prime \nu}=\Lambda^{\nu}{}_{\mu} x^{\mu}+ a^{\nu}$ в аффинном пространстве.]
С другой стороны, если обозначение $x^{\mu}$ предполагается обозначать $(1,0)$ (контравариантный) тензор [а не локальные координаты пространства-времени], то, конечно, можно ввести соответствующий двойственный базис $e_{\mu}$ которые трансформируются в противоположном направлении, чтобы сохранить $x=x^{\mu}e_{\mu}$ инвариант. В общем, наверное, бесполезно обсуждать, какая запись лучше. $^1$

--

$^1$ Однако взгляните, например, на этот ответ Phys.SE.

Почему не распространена инвариантная запись?

innisfree

Тримок

Ответы (2)

Брайан Мотс

auxsvr

innisfree

auxsvr

Qмеханик

Путаница в полярных координатах Эйнштейна

Вопрос о полностью антисимметричном единичном псевдотензоре

Ковариантная и контравариантная компоненты вектора в криволинейной системе координат

В чем разница между TμνTμνT^\mu{}_\nu и TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Есть ли интуитивная причина того, почему тензоры так вездесущи в физике?

Изменение координат и изменение опорных осей

Преобразование координат скалярных полей в КТП

Как преобразуется векторное поле при бесконечно малом преобразовании координат?

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?

Переупорядочивание терминов в нотации абстрактного индекса — общая теория относительности