Почему орбиты эллиптические, а не круговые?

Предположим, что планета имеет пренебрежимо малую массу по сравнению со звездой, что обе они сферически симметричны (так что закон всемирного тяготения Ньютона выполняется, но обычно это происходит в очень хорошем приближении) и что между ними нет никаких сил, кроме гравитации. . Если первое условие не выполняется, то ускорение каждого будет направлено к барицентру системы, как если бы барицентр притягивал к ним гравитационную силу с определенной уменьшенной массой, поэтому проблема математически эквивалентна.

Возьмите звезду, чтобы быть в начале координат. По закону тяготения Ньютона сила равна$\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$, куда$\mathbf{r}$вектор на планету,$m$это его масса, а$\mu = GM$— стандартный гравитационный параметр звезды.

Законы сохранения

Потому что сила чисто радиальная$(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$, угловой момент$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$сохраняется:

$$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$$ Если начальная скорость отлична от нуля и звезда находится в начале координат, то с точки зрения начального положения и скорости орбита должна быть ограничена плоскостью всех точек с векторами $\mathbf{x}$от происхождения, которые удовлетворяют $\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$. Если начальная скорость равна нулю, то движение чисто радиальное, и мы можем выбрать любую из бесконечно многих плоскостей, содержащих центр тяжести и начальное положение.

Полная орбитальная энергия определяется выражением

$$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$$ где первый член представляет собой кинетическую энергию, а второй член представляет собой гравитационную потенциальную энергию планеты. Его сохранение, а также тот факт, что он вызывает правильную потенциальную энергию, могут быть доказаны фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов.

Определите вектор Лапласа-Рунге-Ленца как

$$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$$ Также сохраняется: $$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$$

Наконец, давайте также возьмем$\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$, который имеет те же единицы измерения, что и$\mathbf{r}$, и с тех пор$\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$, она лежит вдоль плоскости орбиты. Поскольку это сохраняющийся вектор, масштабированный сохраняющимся скаляром, легко показать, что$\mathbf{f}$также сохраняется, пока$\mathcal{E}\neq 0$.

Упрощение

Используя векторное тройное произведение, мы можем написать

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$$ квадрат нормы которого легко вычислить: $$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$$ куда $\mathcal{E}$использовался повсюду для переключения между кинетическими и потенциальными терминами.

Почему Эллипсы?

С$\mathcal{E}$есть энергия относительно бесконечности, чтобы иметь связанную орбиту, нам нужно$\mathcal{E}<0$. Таким образом, из предыдущего раздела$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$и поэтому

$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$$ который определяет эллипс с фокусами $\mathbf{0},\,\mathbf{f}$и большая ось $2a=-m\mu/\mathcal{E}$.

Почему не круги?

Окружность — это частный случай, когда фокусы — одна и та же точка,$\mathbf{f} = \mathbf{0}$, что можно переформулировать как

$$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$$ Другими словами, круговые орбиты требуют, чтобы орбитальная энергия была отрицательной кинетической энергии. Это возможно, но почти наверняка не удержится ровно. Поскольку любые значения $\mathcal{E}<0$разрешены для связанных орбит, есть много других способов иметь эллиптические орбиты. (Хотя некоторые из них действительно разобьются, потому что звезда и планета имеют положительный размер.)

Обратите внимание, что гиперболические орбиты имеют$\mathcal{E}>0$, и мы все еще можем найти фокусы, используя описанный выше метод, хотя и осторожно со знаками. За$\mathcal{E}=0$, второй фокус$\mathbf{f}$не определено, потому что это параболическая орбита, а параболы имеют только один фокус в пределах конечного расстояния от центра.

Кроме того, вектор эксцентриситета $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$является альтернативным выбором для вектора LRL; как следует из названия, его величина - это эксцентриситет орбиты.

Планета может иметь круговую орбиту, ведь круг — это эллипс, в котором оба фокуса находятся в одном и том же месте; это известно как наличие эксцентриситета 0 . Эксцентриситет определяется следующим образом:

$$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$$ куда $r_{a}$это апоапсис (самая дальняя точка орбиты от центра масс), и $r_{p}$это перицентр (ближайшее расстояние). Просто чтобы построить здесь некоторую интуицию, если апоцентр в два раза больше перицентра, эксцентриситет будет $e=0.333$.

Из всех планет Солнечной системы Венера с эксцентриситетом 0,007 имеет самую круговую орбиту.

Что касается того, почему все орбиты не круглые, все сводится к кинетической энергии . Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости. В плоскости орбиты и в полярных координатах вокруг звезды мы можем разложить это на комбинацию лучевой скорости$\dot{r}$и угловая скорость$\dot{\phi}$:

$$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$$ Поскольку круги имеют постоянные радиусы, для того, чтобы орбита вокруг звезды была круговой, радиальная скорость планеты должна быть точно равна нулю. Кроме того, угловая скорость должна быть такой, чтобы центробежная сила в коротирующей системе точно уравновешивала силу гравитации - чуть больше или чуть меньше дисбаланс изменит радиальную скорость, испортив круг.

Учитывая тот факт, что скорости меняются по большому количеству причин, неудивительно, что лишь несколько орбит становятся круговыми, а учитывая, что фактические орбиты меняются со временем , мы знаем, что они не могут оставаться такими долго.

Если вы ищете математическое доказательство, эта ссылка содержит некоторые подробности о нем .

Вот изображение, показывающее эксцентриситет некоторых тел в Солнечной системе, извлеченное отсюда :

Я всегда предпочитаю ответы, которые пытаются избежать какой-либо формулы и вместо этого отвечают на аргументацию. Относительно части вопроса, почему не все орбиты круговые, аргументация будет такой:

Рассмотрим неподвижную звезду и движущуюся планету. Для каждого импульса, который может иметь планета, можно предсказать кривую ее дальнейшего движения. Если этот импульс направлен точно ортогонально линии от звезды к планете, а скорость имеет точную величину , то эта кривая движения может быть точной окружностью.

Но для каждого отклонения этого одного точного импульса результирующая кривая не может быть кругом:

• Если скорость слишком мала, планета упадет на звезду (в крайнем случае нулевого импульса это падение будет по прямой).
• Если скорость слишком высока, планета удалится от звезды (подобно рогатке).
• Если импульс не прямо ортогонален линии к звезде, первое движение будет двигаться к звезде или от нее, поэтому кривая снова не будет кругом.

Таким образом, можно просто утверждать, что круг — это особый случай кривой, по которой планета может двигаться вокруг звезды.

Этот ответ адресован на уровне вопроса для учащихся, а не профессионалов. Поскольку планеты нашей Солнечной системы движутся по близким кругам, люди воображают, что это естественное состояние. Но это сложный вопрос.

Во-первых, мы должны представить себе гравитацию как форму перевернутой трубы и планету как шар, катящийся по такой поверхности. В зависимости от направления и скорости, которую вы даете мячу, траектория будет падать с тенденцией изгибаться внутрь, но также и ускоряться, и поэтому затем он будет поворачиваться и снова вылетать, а затем замедляться и снова изгибаться. НЕТ НИКАКОЙ ПРИЧИНЫ, чтобы получить хороший круг, ЕСЛИ вы не очень тщательно выберете начальную скорость и направление. В общем, математика Ньютона показывает, что вы получаете эллипс для орбиты отдельной планеты, а круг - это один особый эллипс.

Однако из-за того, что Солнечная система возникла в результате гравитационного коллапса гигантского газового и пылевого облака, материал имеет тенденцию собираться в круговой водоворот, очень похожий на ураган, а планеты конденсируются путем аккреции по почти круговым траекториям. Сложные столкновения могут изменить все, но у круговых траекторий есть приличный шанс не пересекаться с другими круговыми орбитами, и поэтому мы заканчиваем примерно на них, и, к счастью для нас, наша система около круговых орбит, к счастью, довольно стабильна и не сильно дрейфует из-за возмущений других круговых орбит. планеты на эксцентрические орбиты, что было бы фатальным. На самом деле подробные расчеты показывают, что планеты помогают друг другу поддерживать стабильность, но нет никакой очевидной причины, по которой, кроме как если бы это было не так, нас бы здесь не было.