Почему присоединенное представление имеет значение в некоторых теориях поля?

Я не уверен, знаю ли я правильный ответ (поскольку я сам учусь), но я попробую (и если я ошибаюсь, кто-нибудь, пожалуйста, поправьте меня).

Первое, что мне потребовалось некоторое время, чтобы понять, что они подразумевают под присоединенным представлением. В книге Джорджи он определяет присоединенное представление генератора как:

$$\begin{equation} [T_i]_{jk} \equiv -if_{ijk} \end{equation}$$ что эквивалентно присоединенному представлению алгебры Ли . Однако, говоря о монополе, на самом деле имеют в виду присоединенное представление группы Ли. Это значит, что $\phi$принимает значения в алгебре Ли (векторное пространство, образованное образующими) и может быть выражено через образующие в произвольном представлении : $$\begin{equation} \phi = \phi^a t^a \end{equation}$$ куда $t^a$обозначают образующие в произвольном представлении (и существует неявная сумма по повторяющимся индексам).

Теперь давайте рассмотрим простейший пример, который представляет собой бозонную часть$\mathrm{SU(2)}$калибровочно-инвариантная модель Джорджи-Глэшоу:

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{1}{8} \mathrm{Tr} (F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_\mu \phi D^\mu \phi) - \frac{\lambda}{4}(1-\phi^a \phi^a )^2 \end{equation}$$ Мы можем написать кинетическую и потенциальную энергию, $T$и $V$, в качестве: $$\begin{equation} T=\int \left( - \frac{1}{4} \mathrm{Tr} (F_{0i}F_{0i}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_0 \phi D_0 \phi) \right) \mathrm{d^3}x \end{equation}$$ и: $$\begin{equation} V=\int \left( - \frac{1}{8} \mathrm{Tr} (F_{ij}F_{ij}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_i \phi D_i \phi) + \frac{\lambda}{4}(1-\phi^a \phi^a )^2 \right) \mathrm{d^3}x \end{equation}$$ где мы использовали $L= \int \mathcal{L} \; \mathrm{d^3}x = T-V$. Чтобы получить решения с конечной энергией, мы должны наложить граничные условия так, чтобы полная энергия модели обращалась в нуль на пространственной бесконечности. Должно быть ясно, что одним из требований, обеспечивающих исчезновение энергии, является: $$\begin{equation} \phi^a \phi^a =1 \end{equation}$$ Отсюда следует, что вакуум Хиггса соответствует бесконечному количеству вырожденных значений вакуума, лежащих на поверхности единичной двусферы в полевом пространстве, которые мы будем обозначать через $S^2_1$. Кроме того, наложение вышеупомянутого граничного условия с конечной энергией приводит к следующему отображению: $$\begin{equation} \phi : S^2_\infty \to S^2_1 \end{equation}$$ куда $S^2_\infty$обозначает двухсферу, связанную с пространственной бесконечностью (в 3-х измерениях). На самом деле это определение числа витков (или степени) между двумя двумерными сферами, и поэтому оно классифицируется как $\pi_2(S^2)=\mathbb{Z}$(и теоретически возможно построить топологические солитоны). Сейчас если $\phi$было в фундаментальном представлении, то я не думаю, что можно построить эти топологические солитоны.

Теории с фундаментальными кварками, которые испытывают спонтанное нарушение киральной симметрии:

$$SU_L(N_f) \times SU_R(N_f) \rightarrow SU_A(N_f)$$

($N_f$это количество вкусов)

(Это наблюдаемое приблизительное нарушение симметрии в природе, где пионы являются приблизительными бозонами Голдстоуна).

Напротив, теории с присоединенными кварками испытывают нарушение киральной симметрии:

$$SU(N_f) \rightarrow SO(N_f)$$

(по модулю дискретных групп). См., например, следующую статью Ауцци, Болоньези и Шифман.

Причина в том, что, поскольку присоединенное представление реально, оно имеет только одну копию$SU(N_f)$Симметрия вкуса и$SO(N_f)$является максимальной подгруппой$SU(N_f)$, таким образом, любое нарушение симметрии начнется в этом шаблоне.

Многообразие бозона Голдстоуна будет:

$$\mathcal{M} = SU(N_f)/SO(N_f)$$

Топология голдстоуновского бозонного многообразия определяет существование монополей Хофта-Полякова, поскольку нетривиальная гомотопическая группа$\pi_2(\mathcal{M} )$требуется для существования стабильного монопольного решения. Это происходит в нашем случае, когда$N_f =2$, в этом:

$$\mathcal{M} = SU(2)/SO(2) = S^2$$

Таким образом$\pi_2(\mathcal{M} ) = \mathbb{Z}$и монополии существуют.

Кроме того, для любого количества вкусов будут Скирмионы в$\mathcal{M}$как подробно описано в статье Болоньези и Шифмана.