Почему размерность множества разделимых состояний равна dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

Question

Почему размерность множества разделимых состояний равна dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

Марсо

Пожалуйста, помогите мне понять, какова размерность множества разделимых состояний. $\dim \cal H_1 + \dim \cal H_2$ ?

Это соответствующий отрывок:

До сих пор мы неявно предполагали, что система состоит из одного компонента. Предположим, система состоит из двух компонентов; человек живет в гильбертовом пространстве $\cal H_1$ а другой в другом гильбертовом пространстве $\cal H_2$ . Система, состоящая из двух отдельных компонентов, называется двудольной . Тогда система в целом живет в гильбертовом пространстве $\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$ , общий вектор которого записывается как
$\begin{matrix} (2.29) & | ψ ⟩ "=" \sum_{я, Дж} с_{я Дж} | е_{1, я} ⟩ \otimes | е_{2, Дж} ⟩, \end{matrix}$ $\left|\, \psi \right\rangle = \sum_{i,j} c_{ij} \left|\,e_{1,i}\right \rangle \otimes \left|\,e_{2,j}\right\rangle, \tag{2.29}$ где $\{|\,e_{a,i}\rangle\}$ ( $a=1,2$ ) является ортонормированным базисом в $\cal H_a$ и $\sum_{i,j} |c_{ij}|^2 = 1$ .

Штат $|\,\psi \rangle \in \cal H$ записывается как тензорное произведение двух векторов как $|\,\psi \rangle = |\,\psi_1 \rangle \otimes |\,\psi_2\rangle$ , ( $|\,\psi_a\rangle \in \cal H_a$ ) называется сепарабельным состоянием или состоянием тензорного произведения . Сепарабельное состояние допускает классическую интерпретацию, такую как «Первая система находится в состоянии $|\,\psi_1\rangle$ , а вторая система находится в $|\,\psi_2\rangle$ ». Ясно, что множество сепарабельных состояний имеет размерность $\dim \cal H_1 + \dim \cal H_2$ .

юггиб

Из Википедии: Если

H_{1}

$\mathscr{H}_1$ и

H_{2}

$\mathscr{H}_2$ имеют ортонормированные базисы

{φ_{k}}

$\{\varphi_k\}$ и

{ψ_{l}}

$\{\psi_l\}$ , соответственно, то

{φ_{k} \otimes ψ_{l}}

$\{\varphi_k \otimes \psi_l\}$ является ортонормированным базисом для

H_{1} \otimes H_{2}

$\mathscr{H}_1\otimes\mathscr{H}_2$ . В частности, гильбертова размерность тензорного произведения является произведением (в количественных числах) гильбертовых размерностей.

Ответы (2)

Почему размерность множества разделимых состояний равна dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

Из Википедии: Если $\mathscr{H}_1$ и $\mathscr{H}_2$ имеют ортонормированные базисы $\{\varphi_k\}$ и $\{\psi_l\}$ , соответственно, то $\{\varphi_k \otimes \psi_l\}$ является ортонормированным базисом для $\mathscr{H}_1\otimes\mathscr{H}_2$ . В частности, гильбертова размерность тензорного произведения является произведением (в количественных числах) гильбертовых размерностей.

Голограф · Answer 1

Обратите внимание, что пространство сепарабельных состояний не является векторным пространством и, в частности, не является подпространством тотального гильбертова пространства: сумма двух сепарабельных состояний вряд ли будет сепарабельной. Таким образом, размерность здесь означает нечто более общее, чем размерность векторного пространства.

Сказав это, я бы не согласился с автором по поводу его размерности! Я бы сказал, что пространство (ненулевых) сепарабельных состояний имеет размерность $\dim \mathcal{H_1}+\dim\mathcal{H_2}-1$ .

Чтобы указать разделяемое состояние, мы можем предоставить элемент каждого из $\mathcal{H_1}$ и $\mathcal{H_2}$ , что значит $\dim \mathcal{H_1}+\dim\mathcal{H_2}$ комплексные числа. Однако здесь есть избыточность, потому что мы можем изменить каждое на общее масштабирование ( $|\psi_1\rangle\mapsto\lambda|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle\mapsto\lambda^{-1}|\psi_2\rangle$ ) без изменения состояния продукта, что уменьшает размерность на 1.

Пара простых примеров:

1) Если $\mathcal{H_1}$ одномерно (совершенно тривиально!), то все состояния сепарабельны, и $\mathcal{H_1}\otimes\mathcal{H_2}\simeq\mathcal{H_2}$ .

2) Если оба $\mathcal{H_1}$ и $\mathcal{H_2}$ двумерны, мы можем записать состояние $\mathcal{H_1}\otimes\mathcal{H_2}$ как матрица 2x2. Разделяемые состояния имеют пропорциональные столбцы/строки, поэтому они точно такие же, как матрицы с нулевым определителем. Если исключить 0, это трехмерное подмногообразие.

ваше масштабирование $|\psi_1\rangle\mapsto\lambda|\psi_1\rangle$ однако не сохраняет нормализацию. Если $\dim\mathcal H_1$ это (как и должно быть) $2(N-1)$ с $N$ размерность пространства, то о неоднозначности фазы и нормализации уже позаботились, поэтому я не понимаю, почему должно быть на один параметр меньше. Например, двухкубитные отделимые состояния определяются $2+2=4$ параметры, а не три: $(\cos\theta|0\rangle+\sin\theta e^{i\phi}|1\rangle)\otimes(\cos\theta'|0\rangle+\sin\theta' e^{i\phi'}|1\rangle)$

Любопытный Разум · Answer 2

Возможно, это не то, что имеет в виду Накахара, но это можно понять, используя идею проективных гильбертовых пространств . Позволять $\mathcal{P}(\mathcal{H})$ обозначают проективное пространство, связанное с «нормальным» пространством $\mathcal{H}$ .

Как отмечает Holographer , подмножество сепарабельных состояний не является подвекторным пространством в собственном смысле. Однако его можно понимать как проективное подмногообразие проективного пространства, связанное с тензорным произведением лежащих в его основе гильбертовых пространств — это образ вложения Сегре , являющийся гладким вложением

п ({ЧАС}_{1}) \times п ({ЧАС}_{2}) \to п ({ЧАС}_{1} \otimes {ЧАС}_{2}), (ψ, ф) \mapsto ψ \otimes ф

$\mathcal{P}(\mathcal{H}_1) \times \mathcal{P}(\mathcal{H}_2) \to \mathcal{P}(\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2), (\psi,\phi) \mapsto \psi \otimes \phi$

где $\mathcal{P}(\mathcal{H}_1) \times \mathcal{P}(\mathcal{H}_2)$ являются сепарабельными состояниями. ¹ На языке проективных многообразий этот образ $(m-1)+(n-1)$ размерности проективного подмногообразия $\mathcal{P}(\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2)$ , но так как мы должны более правильно видеть $m' = m - 1$ и $n' = n - 1$ — размерности проективных пространств — как размерность актуальных пространств состояний, мы действительно получаем, что подмногообразие, соответствующее сепарабельным состояниям, имеет в качестве своей размерности сумму размерностей отдельных состояний.

¹ Заметим, что в обычных гильбертовых пространствах это даже не инъективно, не говоря уже о вложении в каком-либо собственном смысле, поскольку $\psi \otimes \phi = k\psi \otimes \frac{1}{k}\phi$ Значит это $(\psi,\phi)$ и $(k\psi,\frac{1}{k}\phi)$ сопоставьте с одним и тем же элементом пространства тензорного произведения.

ах! алгебраическая геометрия повсюду! но я такой бедняга, который не понимает, спасибо, но извините, с моим математическим образованием, я не понимаю вашего ответа
Очень хорошо! Было действительно трудно увидеть геометрию здесь; это очень помогает. Одна очень маленькая придирка: в исходной нотации $\dim\mathcal{H}_1=n$ , так $\dim\mathcal{P}(\mathcal{H}_1)=n-1$ , так что сепарабельные состояния были бы $(n+m-2)$ здесь многомерное разнообразие, если я правильно понимаю.

Почему размерность множества разделимых состояний равна dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

Марсо

юггиб

Ответы (2)

Голограф

ГЛС

Любопытный Разум

Марсо

Голограф

Любопытный Разум

Суперпозиция в квантовой механике

Почему в определении состояния GHZ рассматривается только случай M>2M>2M>2?

Запутался или не запутался?

Спектральная теорема: матрицы против операторов

Означает ли корреляция результатов измерения, что состояние запутано?

Каково фактическое использование гильбертовых пространств в квантовой механике?

Эти два оператора коммутируют... но их собственные векторы не одинаковы. Почему?

Почему операторы плотности охватывают все операторное пространство B(H)B(H)\mathcal{B}(H)?

Каков физический смысл ядра матрицы плотности?

mnmnmn-dim гильбертово пространство против произведения mmm и nnn гильбертовых пространств