Почему восьмеричный способ работает?

Предыстория (пропустите это, если вы все это знаете)!

Я тоже беспокоился об этом, когда впервые узнал об этом. По сути, я думаю, что проще всего сначала думать о Восьмеричном Пути с точки зрения квантовой механики, а потом беспокоиться о КТП. Вот что я сделаю в этом ответе.

В квантовой механике (по крайней мере, по Вигнеру) частица является базисным вектором в некотором представлении полной группы симметрии теории (Пуанкаре$\times$внутренний). Фундаментальные частицы определяются как находящиеся в (анти) фундаментальном представлении группы внутренней симметрии.

Восьмеричным образом мы выдвигаем гипотезу о том, что соответствующий гамильтониан для нашей КМ-теории имеет$SU(3)$симметрии и посмотреть на последствия. Мы также ограничиваем наше внимание только фермионами со спином 1/2. Это означает, что по определению существуют три фундаментальные частицы (верхний, нижний и странный кварки) вместе с тремя фундаментальными античастицами.

Теперь мы знаем из базовой КМ, что многочастичные состояния строятся из тензорных произведений одночастичных состояний. Полезный математический способ перечисления возможных частиц состоит в том, чтобы найти все тензорные произведения фундаментальных и антифундаментальных представлений. Они разлагаются на неприводимые представления, позволяющие легко подсчитать количество степеней свободы и их свойства.

Как разложить тензорное произведение на сумму повторений

Общая процедура известна как разложение Клебша-Гордана. Это полностью аналогично процессу, через который вы проходите при добавлении угловых моментов в КМ. Вы даже можете вычислить коэффициенты, которые точно говорят вам, как любое заданное состояние тензорного произведения разлагается для общей группы симметрии.$SU(N)$, см . здесь .

Конечно, в действительности эта сложность часто не является необходимой для определения корпускулярного содержания теории. Вместо этого вы можете сделать следующее.

Чтобы определить безрецептурное разложение$m\otimes n$

1. построить весовые диаграммы$m$а также$n$
2. построить весовую диаграмму$m\otimes n$который получается путем (векторного) сложения весов на первых двух диаграммах всеми возможными способами. Проверить: вы должны получить$mn$веса
3. Найдите «самый высокий» вес (обычно тот, который находится на наибольшем расстоянии от начала координат) и определите, к какому иррепу он принадлежит. Это включает в себя подсчет количества повторений с большим количеством повторений или просмотр диаграмм их веса. Запишите это непредставление.
4. Удалите все другие веса на диаграмме, которые соответствуют иррепутации для самого высокого веса, который вы нашли.
5. Повторяйте шаги 3 и 4, пока не останется гирь.

Причина, по которой это работает, довольно прозрачна — на каждой итерации алгоритма вы просто идентифицируете инвариантное подпространство. Если вспомнить, что невозвраты маркируются по их наивысшему весу, то аргумент завершается.

Если вам нужны подробности, я рекомендую вам прочитать заметки Яна Гутовски, особенно раздел 4.3.

PS просто прочитайте ваш профиль - надеюсь, вы хорошо начали в Imperial! С января я буду аспирантом в Queen Mary, так что, может быть, увидимся на собрании Лондонского Треугольника.